其中，i>+b=0为所要求解的超平面，w是超平面的法向量，b是超平面的偏移量，C是惩罚因子，(w,x_i)表示w和x_i的点集，为了较准确地将两类数据分开，使用映射Φ：X→H将x从输入空间X映射到一高维的特征空间H。为便于计算，选择一个核函数k(x_i,x_j)=<Φ(x_i),Φ(x_j)>用于特征空间中点积的运算。其Lagrange表达式为：　

　　这是由Vapnik提出的第一种支持向量机，也被称为C-SVM或标准支持向量机。
2 代价敏感支持向量机
　　考虑两类的分类问题，类别分别为C⁺和C^-，假定C+的错分代价大于C^-的错分代价。为了解决分类中的代价不对称问题，将分类算法SVM进行改造，基本思想就是对C+错分、C^-错分两种错误分别引入不同的代价函数。这种方法等价于对误分代价高的类使用更大的拉格朗日算子α_i，从而使分类平面远离C⁺，而靠近C^-，使得未知数据被划分为C+的概率更大，从而减小了分类中因错分引起的损失。
　　在支持向量机(SVM)中，原始问题为：
　　

　　在训练过程中使用C⁺>C^-，得到的分类器的决策平面靠近类别C^-，使测试样本更多地落在C⁺的区域中，从而减小C⁺类的样本错分的可能性，但也加大了C^-类样本被错分的可能性。因此需寻找合适的参数，使得两类样本的分类结果都尽可能地达到最优。设两类样本的约束值的比值为：
　　s=C⁺/C^-
　　s值通常使用穷举的方法来确定，先固定C^-的值为C，搜索最佳参数C⁺的值，使得分类的错误代价最小。
　　代价敏感支持向量机的主要思想就是通过改变两类的惩罚因子C⁺和C^-的比值，使得分类面向远离错分代价高的一类的方向移动，从而使得样本更大可能地被分为这一类，降低分类错误代价，但提高某一类样本的分类正确率总是以牺牲另一类的分类正确率为代价的。
3 属性的权值
　　样本属性重要性的度量是属性相关分析的主要内容，在模糊集和粗糙集理论方面有许多的研究。这里介绍常用的基于信息熵的属性权值的计算方法[6]。
　　设有数据样本集合S，该样本集有m个不同的属性值和n个不同的类别,分别定义为A_i(i=1,…,m)和C_j(j=1,…,n)，s_i为C_i中的样本数。根据概率分布和联合概率分布以及信息论中熵和条件熵的定义，对于一个给定的样本分类问题所需的期望信息由下式给出：
　　
　　式中 p_i是样本属于C_j的概率，其中 p_i=s_i/s。
　　设属性A有v个不同值{a₁,a₂,…,a_v},属性A可将样本集S划分为v个子集{s₁,s₂,…,s_v},其中S_j为在属性A上具有值a_i，设s_ij为子集S_j中类C_i的样本数。根据A的这种划分的期望信息为：
　　　　

　　式中p_ij=s_ij/|s_j|,|s_j|是s_j中样本属于类C_i的概率。
　　在属性A上该划分获得的信息增益为：
　　δ=H(C)-E(A)
　　根据上面的计算得到每个属性的权重系数为：
　　
　　从分析中知道，该权重系数反应了样本中各个属性的重要程度，权重系数值越大则该属性越重要，对分类的贡献越大。
在确定了样本属性重要度后，就可以构造基于样本属性重要度的代价敏感支持向量机。
4 实验结果
　　本文利用MATLAB软件进行模拟实验，对＋1类和－1类的分类性能进行比较，在三维空间中引入两类不同的样本：正类和负类，并引入了一定数量的噪声和野值数据。为了验证所提算法的有效性，利用所提算法进行了一系列比较实验。在实验中，模拟用的训练样本和测试样本均随机产生，样本数据情况如表1所示。

　　在实验中考虑正类的错分代价大于负类的错分代价，分别用C-SVM、Cost-sensitive SVM和属性加权的Cost-sensitive SVM进行性能测试，表2所示为分类准确率的比较。由表2可见代价敏感支持向量机分类算法提高了错分代价高的类别的分类精度，在进行属性加权后，总体的分类精度也得到了提高。