0 引言

    随着电子产品向轻、薄、短、小的趋势发展，在互连基板内层制造或埋入无源器件以实现元件高密度集成的埋入式无源器件技术受到广泛关注。该技术可有效减小基板面积，提高布线密度，降低生产成本。然而元件集成度提高的同时基板内单位体积的功耗增大、发热量增加，高温环境影响埋入式器件的工作寿命并导致相关参数值改变，当温度升高到一定程度，埋入式器件可能因失效而停止工作。因此有必要对埋入式基板的散热问题进行研究，分析参数不同的元器件相互间的位置关系对温度场分布的影响，寻求散热效果最佳的布局方案，保证基板正常工作。

    电子元件布局属于组合优化问题，遗传算法是计算数学中的一种全局优化算法，非常适合解决大规模的组合优化问题。近年来已有学者将遗传算法应用到该领域研究中，如文献[1]利用遗传算法解决单层SMT电子元件的热布局优化，文献[2，3]利用遗传算法进行两层3D-MCM芯片的热布局设计等。但由于遗传算法存在特有的早熟收敛现象, 在进化早期种群多样性急剧减少，群体缺乏有效的等位基因，在遗传算子作用下不再生成高阶竞争模式。因此，采用标准遗传算法进行热布局优化得到的优化结果有可能并非全局最优解，而是某个随机的非优个体。

    本文以埋入式无源器件为研究对象，针对标准遗传算法在电子元件热布局优化中存在的问题，通过改进以热叠加模型为基础的适应度函数，采用模糊逻辑控制器自适应调整遗传算法的交叉概率和变异概率，提高搜索全局最优解的精确度，以及对长时间未进化的种群执行局部灾变等措施维持种群多样性并抑制早熟收敛，以获得更好的布局排列。

1 埋入式电阻布局描述

    埋入式无源器件的主要发热源是电阻元件，电阻的功率对PCB板的温升具有显著影响，且电阻在基板中的位置不同，其温升不同，对邻近器件的温度影响也不同^[4]。不合理的布局将导致基板局部温度过高或温度梯度过大，从而降低电路板的整体性能及可靠性。本文采用模糊遗传算法对埋入式电阻的位置布局进行优化,得到电阻在某种散热条件下的最优布局,使埋入式基板内部各处温度趋于平均和最高温度降低。为简化计算,本文将功耗不同、材料和尺寸相同的电阻在基板内部建立一个两层布局排列，如图1所示，底层和上层各有9个电阻,底层电阻和顶层电阻每两个重叠在一起。在采用遗传算法进行布局优化的过程中需要对电阻的位置进行编码,则先对各电阻进行编号(从1～18)，数字编号对应其相应功率,也表示电阻的位置,电阻1的功率最小,电阻18的功率最大。

2 模糊遗传算法优化埋入式电阻布局

2.1 适应度函数设计

    在利用遗传算法进行电子元件优化布局设计时，通常以电子元件的温度为优化目标，当温度达到最小时为最优解。文献[1-3]采用Balwant Singh Lall等人提出的热叠加模型中的温度计算公式^[5]作为遗传算法的适应度函数，其基本原理是：在计算任一处电子元件的温度时，除考虑相邻电子元件发热产生的影响外，还需考虑其他电子元件对此处的热量贡献。在电子元件上的热分布是：元件中心最热，随着与中心距离的增加，热分布单调降低。由此得到电子元件内、外热分布方程分别为：

其中B_i为毕奥数，I₀和I₁为变形的第一类0阶和1阶贝塞尔函数，K₀和K₁为变形的第二类0阶和1阶贝塞尔函数。

    利用叠加原理，由式(1)得到电子元件上任一点温度；为简化计算，以电子元件中心处的温度表示该元件温度，因此D⁺=0，I₀=1，式(1)简化为：

    由式(3)可以求出各电子元件的自身温度T_io，由式(2)求出某一元件j对元件i的贡献温度T_ji，因此，可得每一个元件在基板上的温度：

式中M为基板中电子元件的总数。则遗传算法的适应度函数定义为所有电子元件温度的平均值：

    由于计算式(2)和式(3)需贝塞尔函数，为降低计算复杂度，采用多项式方程简化后^[6]，得到某一元件i的自身温度为：

式中A_i为某一元件i的功率，A_max为所有元件中的最大功率；某一元件j对元件i的贡献温度为：

D_ji表示元件j和元件i的距离，R_i为元件i半径。

    然而，通过大量仿真实验发现，以式(5)所示的适应度函数作为遗传进化目标的缺点是搜索到的最优布局不具有唯一性。

    针对上述问题，算法在原适应度函数式(5)的基础上增加了两个修正项，如式(8)所示，Ave为原适应度函数值，修正项Max代表所有元件的最高温度，修正项Diff代表元件最高温度与最低温度的差值。公式中各项参数权重的最优取值由实验验证得到。以0.1为步长，Ave项的权重从0～1遍历取值，修正项Max和Diff的权重在此基础上取遍所有可能的组合，经仿真实验反复验证，当Ave项权重为0.8、两个修正项的权重均为0.1时，搜索效果最佳。修正后的适应度函数与式(5)相比评价标准更全面，可有效防止遗传进化过程中因单一进化目标而陷入局部最优解。   

2.2 模糊逻辑控制器设计

    本文采用模糊逻辑控制器自适应调整遗传算法参数的思路，如图2所示，模糊逻辑控制器有两个输入变量和两个输出变量，输入变量为遗传算法的当前进化代数gen，以及进化过程中最优适应度值未改变的次数num，输出变量为遗传算法的交叉概率P_c和变异概率P_m。各输入变量的模糊论域都归一化到[0,1]范围，输出变量P_c和P_m的论域分别为[0.7,1]和[0，0.3]。

    模糊逻辑控制器的规则如表1所示，各输入、输出变量的语言值都设为三个，分别是S、M 和B，对于输入变量gen，S代表进化早期，M 代表进化中期，B代表进化后期；对于其他变量，S代表小，M 代表中，B代表大。共有9条规则。规则1～3表示进化早期，种群多样性较好，P_c和P_m随着num变化相应增大或减小；规则4～6表示进化中期，种群多样性逐渐下降，对P_c和P_m赋值力度比早期偏大；规则7～9表示进化后期，种群趋于收敛，为避免破坏已找到的最优解，对P_c和P_m的赋值力度比早期偏小。

    在某些极端情况下，当自适应调整交叉概率和变异概率也无法阻止种群多样性在进化早期迅速衰减时，需相应的人工干预以维持种群多样性，防止种群过早收敛。具体措施是在进化早期或中期，对超过50代没有寻找到更优适应度值的种群执行局部灾变，将种群中适应度值最差的10%个体更换为当前种群最优个体不同变异体。

    图3是模糊遗传算法优化埋入式电阻布局的主要流程，算法分别对上下层电阻实施遗传操作，依次执行初始种群生成、交叉、变异和进化逆转操作，但共用模糊逻辑控制器输出的交叉概率P_c和变异概率P_m，而在计算适应度函数和局部灾变时，将两个种群作为整体进行评价及更新。

2.3 热布局优化实现及结果

    表2为标准遗传算法与模糊遗传算法优化两层埋入式电阻布局的300次统计结果对比分析，标准遗传算法在进化早期收敛的比率约占30%，在进化中后期正常收敛的比例不足50%，在进化末期迟滞收敛的比例也偏高，占22%，且早熟收敛和迟滞收敛所得的平均最优解都高于进化中后期正常收敛所得最优解。模糊遗传算法在进化早期收敛比例下降到1.67%，而有81%的概率能够在进化中后期正常收敛，在进化末期迟滞收敛的比例也较标准遗传算法下降了约5%，且在进化中后期搜索到的平均最优解比早熟收敛和迟滞收敛时得到的解更优。图4是模糊遗传算法300次计算中搜索到的最优布局结果，由此得到的热布局规则是：上层各大功率电阻分布于四角，小功率电阻围绕在大功率电阻周围；下层电阻的分布应尽量避免上下层大功率电阻叠在一起，造成局部温度过高。

3 优化结果有限元仿真实验验证

    为验证模糊遗传算法的热布局优化效果，将优化前随机布局、采用标准遗传算法及模糊遗传算法的优化布局结果（见图5）使用ANSYS有限元分析软件建立热分析模型，对温度场分布情况进行对比分析。

    有限元热分析模型的参数设置如下：PCB板的材料是FR-4，热导率为1.7 W/(m·K)，环境温度是22 ℃，表面对流冷却系数是25 W/(m²·K)；埋入式电阻尺寸为2 mm×1.25 mm×0.5 mm。

    图6和表3是采用有限元热分析得到的三种布局的温度场分布及相关参数统计。从以上图表可知，与优化前随机布局及标准遗传算法优化布局结果相比，模糊遗传算法的优化布局结果其温度场分布更均匀，且在基板的最高温度方面，优化前随机布局为69.015 ℃，标准遗传算法的优化布局结果为63.849 ℃，模糊遗传算法的优化布局结果为53.668 ℃，与前两种布局相比分别下降了15.347 ℃和10.181 ℃；在最大温差方面，优化前随机布局为13.396 ℃，标准遗传算法的优化布局结果为12.073 ℃，模糊遗传算法的优化布局结果为10.6 ℃，较前两种布局分别下降了2.796 ℃和1.473 ℃。

4 优化结果实验验证

    为进一步验证模糊遗传算法的热布局优化结果的正确性，本文还根据模糊遗传算法的热布局优化结果制作相应的测试样件，对测试样件进行通电测试并测量样件在通电后的温度分布结果，以此验证热布局优化量样件在通电后的温度分布结果，以此验证热布局优化结果的正确性。

    实验测试样件制作时首先选取长度为15 cm、宽度为10 cm、厚度为2 mm的双面覆铜PCB板，使用数控机床加工出凹槽，在PCB板上、下两面形成双面对称、深度为0.6 mm的凹槽（单面三条、双面共六条凹槽）。所有凹槽槽宽均为2 mm，槽间距5 mm。再按照图5的三种布局排列，将相应阻值的电阻分别埋入所开的上、下凹槽槽内，从而形成与图7所示布局一致的上、下两层的埋入式电阻布局。各埋入电阻之间采用串联形式、利用铜线进行连接。实验选用的电阻为0805型贴片电阻，几何尺寸为2 mm×1.25 mm×0.5 mm。在完成电阻的电气连接后，再使用环氧树脂将所有凹槽进行填充，从而最终实现所需的埋入式电阻布局。图7所示即为经过环氧树脂填充后不同埋入式电阻布局的实验样件。（图中所示仅为上表面凹槽内埋入的9个电阻）。

    制作完不同埋入式电阻布局的实验测试样件后，对各个实验样件通电。为使电阻产生更多的热量以利于温度测量，选择加载220 V交流电。通电20 min后，利用热成像仪对各个实验样件温度进行检测，得到如图8所示三种布局的温度分布图，各种布局下的实测温度参数如表4所示。

    由图8和表4所示数据可知，实验样件的热成像温度分布测试结果与有限元热分析的仿真结果基本一致，在电路板的最高温度方面，优化前随机布局为66 ℃，标准遗传算法的优化布局结果为59 ℃，模糊遗传算法的优化布局结果为51 ℃，与前两种布局相比分别下降了15 ℃和8 ℃；在最大温差方面，优化前随机布局为8 ℃，标准遗传算法的优化布局结果为7 ℃，模糊遗传算法的优化布局结果为5 ℃，较前两种布局分别下降了3 ℃和2 ℃，从而验证了模糊遗传算法进行热布局优化的有效性和优越性。

5 结论

    本文提出一种基于模糊遗传算法的两层埋入式电阻元件热布局优化方法，通过设计遗传算法的适应度函数、采用模糊逻辑控制规则自适应调整交叉概率和变异概率，以及对长时间未进化的种群执行局部灾变等措施来保持种群多样性并抑制早熟收敛，使算法最终收敛于全局最优解。与采用标准遗传算法进行热布局优化的方法相比，本文算法在保持种群多样性及搜索全局最优解方面具有明显优势，且ANSYS温度场分布以及实验样件的热成像结果显示其最高温度及最大温差都有较大幅度降低。根据优化结果获得的两层电子元件热布局规则除适用于本文所研究的埋入式电阻，对其他电子元件的热布局设计也具有指导作用。但是，由于遗传算法本身具有较高的复杂度，增加了模糊逻辑控制后计算复杂度进一步提高，不利于实时性的实现。在今后的研究中，将考虑融合优化精度更高、速度更快的进化计算方法，如粒子群算法和蚁群算法等应用到埋入式电子元件的热布局设计中。

参考文献

[1] 闫德劲，周德俭，黄春跃，等.基于遗传算法的表面组装电子元件热布局优化[J].电子机械工程，2007，23(2)：12-17.

[2] Huang Chunyue，Li Tianming，Liang Ying，et al.Study on thermal placement optimization of embedded MCM[C].Advanced Materials Research. Switzerland：Trans Tech Publications，2011：2269-2273.

[3] 梁颖，黄春跃，阎德劲，等.基于热叠加模型的叠层3D多芯片组件芯片热布局优化研究[J].电子学报，2009，37(11)：2520-2524.

[4] 陈清远，容锦泉.埋入式电阻的热特性研究[J].电子元件与材料，2005，24(12)：61-63.

[5] LALL B S，KABIR A.Thermal design rules for electronic components on conducting boards in passively cooled Enclosures[C].Proceedings of the 4th Intersociety Conference on Thermal Phenomena in Electronic Systems.New York，1994：50-61.

[6] 徐宁，洪先龙，陈松，等.热约束的BBL布局算法研究[J].计算机辅助设计与图形学学报，2005，117(16)：1312-1315.