摘 要： 从测量矩阵和稀疏矩阵的互相关性角度出发，通过对测量矩阵和稀疏矩阵所构成的Gram矩阵进行门限选择，进而经过相应的缩放处理降低互相关性，这样不仅可以获取更多有信息量的测量值，而且可以完成对测量矩阵的优化改进。通过在DWT、DCT下的压缩感知图像重构实验验证了该方法的可行性，恢复效果得到一定程度的提高，相比于传统的小波恢复重构，达到了预期的效果。
关键词： 压缩感知；稀疏表示；测量矩阵
传统理论指导下的信号处理首先遵循奈奎斯特/香农采样定理对信号进行采样，再对采样数据进行某种变化（如DCT或DWT），将变化后幅值较大的系数进行压缩编码，舍弃幅值为零或接近零的系数，然后将编码值进行存储或传输，最后在解码端通过相应的解压缩算法恢复出原始数据。面对科技发展提出的更高要求，科学家们就构想，既然变化后的数据有些是被丢弃的，为什么还要对它进行采样呢？是否可以直接采集那些需要的信息？针对这些问题，近年来，由DONOHO D、CANDES E和TAO T等人提出了压缩感知理论[1-2]，该理论指出，如果信号是可稀疏表示或可压缩的，就可以通过远少于奈奎斯特采样率要求下数目的采样值高概率地恢复出原始信号。本文在对矩阵的互相关性问题研究分析的基础上进行了优化改进，并通过实验模拟进行了有效的验证。
1 压缩感知的基本理论
压缩感知发展于信息论，由于其具有高度信息挖掘的能力，在学术界和工程应用领域受到了极大关注并表现出了强大的生命力。压缩感知是一个将采样和压缩合二为一的理论，即在对数据采样的同时完成了适当的压缩工作，该理论主要包括信号的稀疏表示、测量编码和恢复重构。
图2中的每个点显示了基于多次实验的平均性能，如期望的一样，随着测量值数目的增加，恢复算法的性能效果得到了提升改善，在某些测量点甚至有较大幅度的提高，从而验证了改进算法的可行性。下面就一维、二维信号进行具体的实验分析。
针对一维信号，对测量矩阵做了相应的优化改进工作，实验结果如图3所示。
通过对二维图像的恢复可以看出，以峰值信噪比（PSNR）为考量依据，经过优化后的测量矩阵对于原始的恢复有8%左右的性能提高。通过对一维、二维问题的实验可以得出：本文所述的对测量矩阵的优化方法是可行的，针对不同的信号和问题，参数的选择会有些差别。同样将该理论应用于压缩感知的离散余弦变化（DCT）问题中，恢复效果如图5所示。
从表1可以看出，改进后的结果比改进前的结果有了一定的提高，随着测量值数目和迭代次数的增加，都取得了一定的改进。
本文主要阐述了压缩感知的理论框架，通过实验仿真说明了压缩感知能够突破传统采样定理的极限，能以更少的数据采样点高概率地恢复原始信号，并通过对测量矩阵的优化改进提高了恢复效果。实验中假设信号的稀疏度是已知的，如何处理未知稀疏度的信号也将是今后工作研究的重点。压缩感知作为一门新生的理论，目前还有很多问题并未解决，但是随着研究的深入，该理论将有更广泛的应用前景。
参考文献
[1] DONOHO D L. Compressed sensing[C]. IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）：1289-1306.
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