0 引言

    四旋翼飞行器是一种常见的特定配置的垂直起降微型飞行器，它具有体积小、灵活性高、机动性强和结构简单操作方便等优点，具有广阔的应用前景^[1]。它是四输入六输出的典型欠驱动、强耦合的非线性系统，理论研究表明，用非线性的控制器实现四旋翼飞行器具有良好的控制效果。由于物理机体和数学模型之间的差异，常用PID控制器作为飞行器的控制系统^[2]。然而在实际应用中，被控对象自身的非线性、延迟性和滞后性等原因，PID控制器参数的整定非常困难。参数设置的不理想不但会影响控制系统的稳定性，而且会无法完成预期效果，甚至引发工业事故，因此PID控制参数自整定对控制系统具有重要作用。

    按照发展阶段，自整定分为常规自整定和智能自整定两类，常规PID参数自整定按其工作机理分为两种：基于规则的自整定方法和基于模式辨识的自整定方法^[3]。

    基于规则的自整定方法在参数整定及控制过程方面不需要特定经验，还可以将过程特性和干扰特性区分开，但是需要技术人员对每一个回路和控制参数都有深入和全面的了解。对于控制系统，要求明确哪个控制参数需要调节，但是需要调节的控制参数不容易确定。

    基于模式辨识自整定的方法简单、直观、易实现，但是在实际工业生产过程中，因其非线性、动态性、系统的噪声和结构的复杂性等特点，该方法并没有取得预期的结果，而且该方法工作量比较大。

    随着科技发展，智能参数自整定相继出现。其中模糊推理整定^[4]不需要精确的数学模型，具有较强的鲁棒性，但是它依赖于确定的PID参数，属于一种局部寻优算法；遗传算法降低了设计难度，具有良好的鲁棒性和全局性，但其存在收敛性、局部搜索能力差等问题。本文是在智能PID控制的基础上，提出结合共轭梯度算法对数字PID控制参数进行自整定，将控制性能指标的最小方差和控制率相结合，根据梯度算法迭代出被控系统不断变化的参数，使PID控制器的效率得以提升，提高了系统的鲁棒特性、可靠性和准确性。

1 四旋翼飞行器建模

    四旋翼飞行器是固定在一个十字交叉的结构上，由4个电机驱动螺旋桨的转动，并且通过螺旋桨速度的改变来改变飞行器的姿态^[5]。其工作原理图如图1所示。

    四旋翼飞行器在全局坐标系下沿X、Y、Z轴的线位移运动方程为：

    根据力矩平衡原理，四旋翼飞行器在全局坐标系X、Y、Z方向的角位移方程为：

其中，l是四旋翼飞行器重心到螺旋桨的距离，k_i(i=4，5，6)是四旋翼飞行器在角位移运动是的空气阻力系数，I是每个轴上的转动惯量M是每个螺旋桨产生的扭动力矩^[6]。

    假定U_i(i=1，2，3，4)为四旋翼飞行器控制系统的输入量，在实验阶段，四旋翼飞行器处于低速飞行的状态，忽略空气阻力^[7]，将式(1)和式(2)化简得出系统的数学模型：

    四旋翼飞行器是用PID控制器作为控制系统，其控制系统模型如图2所示。

    由图2知四旋翼飞行器的飞行姿态是由PID控制器通过调节4个电机的转速来实现，为了增强四旋翼飞行器飞行姿态的稳定性和可靠性，对PID控制器进行优化是必要的。为此提出了共轭梯度算法对PID控制参数的自整定，从而使控制系统输出达到最优。

2 共轭梯度算法对PID参数的整定

    在四旋翼飞行器数学模型的基础上，根据PID控制系统的输出u(k)和整个系统的输出y(k)组成数据序列，在设计过程中引入参数γ，通过对γ不断进行迭代估计，得出k时刻的参数估计值利用最小方差控制率计算出并以此改善调节器的参数，调节器在新参数条件下对过程进行控制。通过不断对参数的迭代估计，直到其收敛到真值，即调节器对过程的控制达到最小方差控制时，参数就能够使控制过程达到最优。

    根据位置式PID控制器^[8]得到：

    由式(4)递推出增量式PID控制^[9]的公式：

    然后引入共轭梯度算法，设目标函数为：

其中，y₀为理想值，y(k-j)为(k-j)时刻的输出值，γ是含控制参数k_p、T_i、T_d的向量。

    在优化值附近可将式(6)简化为：

    利用梯度算法求解γ的最优估计，则迭代公式为：

    不同的PID控制器对应着不同的γ，因此设定系统的输出为：

3 仿真分析

    将共轭梯度算法对PID参数的自整定和四旋翼飞行器的数学模型相结合，在以NI-myrio为控制核心的四旋翼飞行器上利用LabVIEW编程进行仿真，通过MPU6050采集四旋翼飞行器俯仰角、横滚角、偏航角的数据，利用普通PID控制采集的数据与其对比。以横滚角偏移13°的时刻恢复到平稳状态和在平稳状态的稳定性为例，采集两种算法在相同条件、不同时刻下的波形图验证该算法的有效性，其波形如图3所示。图3中：曲线1表示四旋翼飞行器横滚角在共轭梯度算法下PID控制的仿真曲线；曲线2表示四旋翼飞行器横滚角在普通PID控制下的仿真曲线。

    图中分别采集了共轭梯度算法的PID控制和普通PID控制的四旋翼飞行器横滚角在0～224 ms、21～245 ms、30～257 ms时刻的仿真结果。由图3(a)得到，四旋翼飞行器横滚角从13°恢复到平稳状态，普通PID控制所需时间约为47.2 ms，共轭梯度算法的PID控制所需时间为23.6 ms，通过对比，共轭梯度算法的PID控制对四旋翼飞行器的横滚角恢复到平稳状态所需时间时间较短，且提高的效率为：

    由图3(b)、图3(c)可知，普通PID控制的飞行器恢复到平稳状态后依然有较大抖动，其稳定性较差，而共轭梯度算法的PID控制在四旋翼飞行器横滚角恢复到平稳状态后比较稳定，其鲁棒性增强，误差较小。

    通过图3(c)看出，普通PID控制的飞行器平稳状态存在0.5°的偏差，而共轭梯度算法的PID控制实现了飞行器无偏移的平稳状态，提高了系统的准确性和可靠性。

    该算法已成功应用在四旋翼飞行器，在实际飞行中已达到良好的控制飞行效果，其仿真飞行如图4所示。

4 结论

    本文采用共轭梯度算法对数字PID控制的参数进行自整定，将控制性能指标的最小方差和控制率相结合，根据梯度算法迭代计算出被控系统特性不断变化的控制参数，在NI-myrio为核心控制的四旋翼飞行器上通过LabVIEW实现了仿真。经实验证明，从飞行的某一状态恢复到稳定的时间明显缩短，速率明显提高，稳定性较好，波动较小，取得了较为理想的效果。该方法只是完成了PID自整定的基本整定功能，还有许多功能，如增加对多点的自整定功能、考虑实际应用环境的多样性等需进一步做实验验证。

参考文献

[1] 姜成平.一种四旋翼无人机控制系统的设计与实现研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2014.

[2] BOUABDALLAH S，NOTH A，SIEGWART R.PID vs LQ control techniques applied to an indoor micro quadrotor [C].IEEE，2004：2451-2456.

[3] 周伟.PID参数自整定的研究与应用[D].武汉：华中科技大学，2011. 

[4] 边丽华.PID控制器参数自整定方法的研究与实现[D].大连：大连理工大学，2009.

[5] Tao Jili，Lu Wuyi，Xiong Hongyun.The self-tuning of PID parameters based on advanced genetic algorithm[J].Industrial Instrumentation & Automation，2004(2).

[6] 尚昱星.光电式动态扭矩测量系统的研究与设计[D].秦皇岛：燕山大学，2009.

[7] MADANI T，BENALLEGUE A.Backstepping control for a quadrotor helicopter[C].IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems，2006：3255-3260.

[8] 段国强.四旋翼无人直升机仿真及控制方法比较研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2013.

[9] 宿敬亚，樊鹏辉，蔡开元.四旋翼飞行器的非线性PID姿态控制[J].北京航空航天大学学报，2011(9)：1054-1058.

作者信息:

李  航，王耀力

(太原理工大学 信息工程学院，山西 太原030024)