2.5我们着重介绍了二进制整数的加、减运算，本次我们继续介绍乘、除运算。本章是迄今为止最难的一章，希望各位猿友有所收获，也别忘了“点个推荐哦”。

引言

运算一直是程序运行当中一个重要的环节，而在二进制的运算过程当中，加法运算又是重中之重，它基本上奠定了二进制运算的基础。因为无论是减法还是乘法，都可以由加法运算来替代，唯有除法不能由加法替代。

了解计算机运算的规律，可以有助于我们理解很多程序代码上无法理解的内容。比如上章提到的溢出问题，在了解了加法运算的原理之后，相信猿友们都可以轻松的知道为何有些运算会得到意想不到的结果。

这里还需要提一点的是，不同的处理器所采取的运算方式可能是有细微的差别的，因此也不能一概而论。因此我们大多时候会尽量讨论运算的抽象数学特性，抽象的东西大部分时候总是可靠的，这种特性为跨平台提供了基础，不过也并非总是如此，毕竟LZ只听说过浮点数运算标准，还没听说过整数运算标准，不知道究竟是LZ孤陋寡闻了，还是确无此物。

正因如此，我们了解一下这些运算的抽象性，会有助于我们理解程序代码级无法理解的东西。

无符号乘法

无符号的乘法与加法类似，它的运算方式是比较简单的，只是也可能产生溢出。对于两个w位的无符号数来说，它们的乘积范围在0到(2w-1)2之间，因此可能需要2w位二进制才能表示。因此由于位数的限制，假设两个w位的无符号数的真实乘积为pro，根据截断的规则，则实际得到的乘积为 pro mod 2w。

补码乘法

与加法运算类似，补码乘法也是建立在无符号的基础之上的，因此我们可以很容易的得到，对于两个w位的补码数来说，假设它们的真实乘积为pro，则实际得到的乘积为 U2Tw(pro mod 2w)。

上面的式子我们有一个假设，就是假设对于w位的两个补码数来说，它们的乘积的低w位与无符号数乘积的低w位是一样的。这意味着计算机可以使用一个指令执行无符号和补码的乘法运算。

在书中给出了这一过程的证明，我们来大概看一下，这里主要应用了无符号编码和补码编码的关系，其中x’和y’分别代表x和y的补码编码。

这里运用的主要技巧就是2w mod 2w = 0。

乘法运算的优化

根据我们小学所学的乘法运算，我们知道，假设两个w位的二进制数相乘，则需要进行w次与运算，然后进行w - 1次加法运算才能得到结果。从此不难看出，乘法运算的时间周期是很长的。因此计算机界的高手们想出了一种方式可以优化乘法运算的效率，就是使用移位和加法来替代乘法。

上述优化的前提是对于一个w位的二进制数来说，它与2k的乘积，等同于这个二进制数左移k位，在低位补k个0。在书中对这一等式进行了证明，过程如下。

这个过程主要应用了无符号编码的公式，各位猿友应该不难看懂。

有了上面的基础，我们就可以使用移位和加法对乘法优化了。对于任意一个整数y，它总能使用二进制序列表示（假设不超过二进制的表示范围），因此我们可以将x和y乘积的二进制序列表示为如下形式（此公式在书中没有展现）。

x * y = x * (yw-12w-1 + ... + y020) =  (x << w-1) * yw-1 +....+ (x << 0 ) * y0

我们举个例子，对于x * 17，我们可以计算x * 16 + x = (x << 4) + x ，这样算下来的话，我们只需要一次移位一次加法就可以搞定这个乘法运算。而对于x * 14，则可以计算 x * 8 + x * 4 + x * 2 = (x << 3) + (x << 2) + (x << 1) ，更快的方式我们可以这么计算，x * 16 - x * 2 = (x << 4) - (x << 1) 。

这里最后需要提一下的是，加法、减法和移位的速度并不会总快于乘法运算，因此是否要进行上面的优化就取决于二者的速度了。