《电子技术应用》

一种基于改进阈值函数的小波阈值降噪算法

2016年电子技术应用第8期 作者:倪培峰,胡 雄
2016/12/2 11:38:00

  倪培峰,胡  雄

  (上海海事大学 物流工程学院,上海201306)

  摘  要: 针对小波阈值降噪中硬阈值函数和软阈值函数的不足,结合现有文献提出一种新的阈值函数。新阈值函数克服了传统阈值函数的缺点,保证了阈值函数的连续性,同时可以通过改变参数灵活地调节函数。在新阈值函数的基础上结合改进的阈值确定方法,提出一种新的降噪算法。通过MATLAB仿真,对几种小波降噪算法进行了试验分析,利用信噪比和均方根误差两个指标进行评价。结果表明,相比于传统的降噪算法,新降噪算法取得了更好的降噪效果。

  关键词: 小波降噪;阈值函数;阈值选取;信噪比;均方根误差

0 引言

  实际的工程测量测试中,工程信号在采集和传输过程中,总会因外界的干扰引入噪声,为了准确地获得有用信号,降噪是信号分析前必须经过的预处理环节。传统降噪方法的不足在于使信号变换后的熵增高,无法刻画信号的非平稳特性并且无法得到信号的相关性[1]。而小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性质,并且小波变换具有众多优良的特性,如多分辨率特性、低熵性、去相关性和选基灵活性等。这些特性很好地克服了传统方法的不足,使得小波变换适用于信号的降噪处理。因此利用小波变换进行降噪,已经成为近几年研究的热点。

  运用小波变换处理噪声的方法主要分为3类:MATLAB提出的模极大值处理算法[2];XU提出的空域相关降噪算法[3];DONOHO提出的阈值降噪算法[4]。其中,以阈值降噪算法最为常用。阈值降噪算法中,通过对分解后的小波系数进行阈值处理以达到降噪的目的。最常用的阈值函数是由DONOHO在1995年提出的硬阈值函数和软阈值函数,但这两种函数也存在不足之处。采用硬阈值函数时,由于硬阈值函数的不连续,导致重构信号可能出现局部震荡;采用软阈值函数时,与真实小波系数之间存在恒定的偏差,导致重构后信号的精度下降[5]。针对软、硬阈值函数存在的缺点和不足,本文提出一种新的阈值函数。新阈值函数既保证了阈值函数的连续性,又能避免软阈值固定偏差的缺点。并通过MATLAB仿真分析验证了改进的小波阈值降噪算法优于传统阈值算法。

1 小波阈值降噪原理

  假设一维离散含噪信号由式(1)表示:

  QQ图片20161202134956.png

  其中,X(k)是含噪信号;S(k)是原始标准信号;E(k)是叠加的高斯白噪声,其服从N(0,σ2)分布。

  小波变换后,有用信号的能量集中于幅值较大的小波系数,而噪声能量则分布在整个小波域中[6]。因此,较大的小波系数是由有用信号引起的,较小的小波系数则代表噪声。基于小波系数的特征,DONOHO和JOHNSTONE[7]提出了阈值降噪算法。首先确定一个阈值,即选择一个合适的数,当小波分解系数小于阈值时,认为这部分系数主要是由噪声引起的,予以舍弃;当系数大于阈值时,认为这是由信号引起的小波分解系数,就把这一部分进行阈值处理,然后用阈值处理后的量化系数进行重构,即为降噪后的信号。小波阈值降噪的基本步骤如图1所示。

图像 001.png

2 改进阈值算法

  阈值的确定直接影响着小波阈值降噪的效果。如果阈值取得太小,噪声依然存在;如果阈值取得太大,那么有用信号的重要信息也可能被滤除。最常选用的通用阈值可用式(2)表示:

  QQ图片20161202135000.png

  其中,N为信号的长度,σ为噪声的均方差估计值,由式(3)给出:

  QQ图片20161202135003.png

  因为通用阈值有过扼杀有用信号的风险,文献[6]提出一种基于层间相关性的阈值选取方法。本文在此基础上结合分层阈值的思想对该阈值算法进行改进,如式(4)所示:

  QQ图片20161202135007.png

  其中,r为常数,Tj,n为小波分解第j层位置n处的阈值,λj为第j层的阈值,其表达式如式(5)所示:

  QQ图片20161202135010.png

  式中,Wj,k为第j层上的小波系数,j为分解层数。

  K(n)为定义的一个参数,用来表征小波系数的层间相关性,其定义如式(6)所示:

  QQ图片20161202135013.png

  式中,W(:,n)表示点n处的所有小波系数。

  当K(n)∈[0,r),点n处的小波系数相关性较强,点n处可能是一个信号点;当K(n)∈[r,+∞),点n处的相关性较差,该点可能是由噪声引起的。由式(4)可知,新阈值方法通过比较小波系数层间相关性,对不同点n的阈值进行修正。当K(n)∈[0,0.5r)时,小波系数间的相关性很大,该点非常有可能是纯信号点,对阈值进行收缩,取为0.7λj;当K(n)∈[0.5r,0.8r)时,小波系数的相关性比较大,该点有可能是信号点,该点的阈值取为0.8λj;当K(n)∈[0.8r,r)时,相关性较大,该点依旧可能是信号点,减小阈值收缩程度,取为0.9λj;当K(n)∈[r,+∞)时,认为小波系数的相关性较小,该点几乎不可能是纯信号点,将阈值取为λj。

  K(n)在计算时,要求不同层上的小波分解系数的数目一致,因此需要采用平稳小波变换(SWT)。r是测量小波系数相关性的一个重要参数,取值太小,可能会过扼杀有用信号,取值过大,可能会保留较多的噪声信息。通过相关实验,r取为0.5~1.5之间时,降噪效果比较好。本文中,r取为1。

3 构造新阈值函数

  传统的阈值函数是由DONOHO提出的软阈值函数和硬阈值函数,软阈值函数定义如式(7)所示,硬阈值函数定义如式(8)所示。

  QQ图片20161202135019.png

  QQ图片20161202135022.png

  硬阈值函数在小波域内存在间断点,在重构信号时会出现局部震荡现象;软阈值函数虽然在小波域内连续,但是阈值处理后的小波系数与真实小波系数存在恒定偏差,会造成信号高频有用信息的丢失。

  本文结合文献[8]与文献[9]中的方法,构造了一个新的阈值函数,如式(9)所示:

  QQ图片20161202135025.png

  其中,QQ图片20161202135914.png且α为正数,β为正数。

  由式(9)可知,当|Wj,k|→±λ时,QQ图片20161202135929.png,即新阈值函数在Wj,k=±λ处是连续的,克服了硬阈值函数不连续的缺陷,重构信号不会有震荡产生;当Wj,k→±∞时,QQ图片20161202140438.jpgQQ图片20161202140526.png即当小波系数足够大时,新阈值函数等同于硬阈值函数,从而克服了软阈值函数QQ图片20161202140619.jpgQQ图片20161202140624.jpg之间具有恒定偏的问题;同时新阈值函数具有高阶可导性。从表达式中可以看出,当α→0且β→0时,新阈值函数即为软阈值函数;当α→+∞时,u→1,新阈值函数即为硬阈值函数;适当选取α和β的值,新阈值函数可以在硬阈值函数与软阈值函数之间进行调整,灵活性更强。硬、软阈值函数的图形如图2(a)、图2(b)所示,选取不同的α和β的新阈值函数如图2(c)、图2(d)所示。

图像 002.png

4 仿真分析

  为了验证本文降噪算法的有效性,用MATLAB对其进行仿真试验。选用Matlab自带的Heavy sine 信号,对其加入一定的高斯白噪声,并用软阈值降噪算法、硬阈值降噪算法、本文新阈值降噪算法分别对其做降噪处理,其结果如图3所示。其中,选用sym4小波基,分解层数选为3层,新阈值函数中将α取为0.1,β取为7。

  从视觉上,降噪效果很难评价,为了量化地评价降噪性能,采用信噪比和均方根误差[10]作为评价指标。信噪比指原始信号能量与噪声能量的比值,记为SNR,其值越大,信号中噪声含量越少,降噪效果越好;均方根误差指重构信号与原始信号的均方误差,记为RMSE,均方根误差体现了原始信号和降噪之后的信号间的差异,均方根误差越小,表示重构信号与原始信号的差异越小,即降噪效果越好。其表达式分别如式(10)和式(11)所示。

  QQ图片20161202135028.png

  QQ图片20161202135032.png

  式中,x(i)为原始无噪声信号;QQ图片20161202140800.jpg为降噪后的信号。

  各种降噪方法的性能指标如表1所示。从表中可以看出,改进的阈值降噪算法相比于其他算法,降噪后信噪比最大,均方根误差最小,所以改进的阈值降噪算法优于其他算法。

5 总结

  本文分析了小波阈值降噪的原理,针对软、硬阈值函数的缺点,结合相关文献,提出了一种新的阈值函数,该阈值函数可以通过调整α和β参数来调整阈值函数,进而获得最佳的降噪效果。本文基于改进的新阈值函数,并结合改进的阈值确定方法,提出了一种新的阈值降噪算法。利用MATLAB进行仿真分析,实验结果表明,本阈值降噪算法降噪性能优于其他常用算法。

  参考文献

  [1] 张德丰.Matlab小波分析[M].北京:机械工业出版社,2011.

  [2] MALLAT S,HWANG W L.Singularity detection and processing with wavelets[J].IEEE Trans Inform Theory,1992,38(2):617-643.

  [3] XU Y S,WEAVER J B,HEALY D M,et al.Wavelet transform domain filters:a spatially selective noise filtration technique[J].IEEE Trans Image Processing,1994,3(6):747-758.

  [4] DONOHO D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEETransactions on Information Theory,1995,41(3):613-627.

  [5] 王立东,张凯,王良润.改进小波阈值算法在电机振动信号降噪中的应用[J].电子技术应用,2015,41(5):77-80.

  [6] HE C,XING J C,LI J L,et al.A new wavelet threshold determination method considering interscale correlation in signal denoising[J].Mathematical Problems in Engineering,2015.

  [7] DONOHO D L,JOHNSTONE I M.Ideal spatial adaption by wavelet shrinkage[J].Biometrika,1994,81(3):425-455.

  [8] 胡俊文,周国荣.小波分析在振动信号降噪中的应用[J].机械工程与自动化,2010,158(1):128-130.

  [9] 王蓓,张根耀,李智,等.基于新阈值函数的小波阈值降噪算法[J].计算机应用,2014,34(5):1499-1502.

  [10] 陶珂,朱建军.小波去噪质量评价方法的对比研究[J].大地测量与地球动力学,2012,32(2):128-133.

  


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