0 引言

　　实际的工程测量测试中，工程信号在采集和传输过程中，总会因外界的干扰引入噪声，为了准确地获得有用信号，降噪是信号分析前必须经过的预处理环节。传统降噪方法的不足在于使信号变换后的熵增高，无法刻画信号的非平稳特性并且无法得到信号的相关性[1]。而小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性质，并且小波变换具有众多优良的特性，如多分辨率特性、低熵性、去相关性和选基灵活性等。这些特性很好地克服了传统方法的不足，使得小波变换适用于信号的降噪处理。因此利用小波变换进行降噪，已经成为近几年研究的热点。

　　运用小波变换处理噪声的方法主要分为3类：MATLAB提出的模极大值处理算法[2]；XU提出的空域相关降噪算法[3]；DONOHO提出的阈值降噪算法[4]。其中，以阈值降噪算法最为常用。阈值降噪算法中，通过对分解后的小波系数进行阈值处理以达到降噪的目的。最常用的阈值函数是由DONOHO在1995年提出的硬阈值函数和软阈值函数，但这两种函数也存在不足之处。采用硬阈值函数时，由于硬阈值函数的不连续，导致重构信号可能出现局部震荡；采用软阈值函数时，与真实小波系数之间存在恒定的偏差，导致重构后信号的精度下降[5]。针对软、硬阈值函数存在的缺点和不足，本文提出一种新的阈值函数。新阈值函数既保证了阈值函数的连续性，又能避免软阈值固定偏差的缺点。并通过MATLAB仿真分析验证了改进的小波阈值降噪算法优于传统阈值算法。

1 小波阈值降噪原理

　　假设一维离散含噪信号由式(1)表示：

　　其中，X(k)是含噪信号；S(k)是原始标准信号；E(k)是叠加的高斯白噪声，其服从N(0，σ2)分布。

　　小波变换后，有用信号的能量集中于幅值较大的小波系数，而噪声能量则分布在整个小波域中[6]。因此，较大的小波系数是由有用信号引起的，较小的小波系数则代表噪声。基于小波系数的特征，DONOHO和JOHNSTONE[7]提出了阈值降噪算法。首先确定一个阈值，即选择一个合适的数，当小波分解系数小于阈值时，认为这部分系数主要是由噪声引起的，予以舍弃；当系数大于阈值时，认为这是由信号引起的小波分解系数，就把这一部分进行阈值处理，然后用阈值处理后的量化系数进行重构，即为降噪后的信号。小波阈值降噪的基本步骤如图1所示。

2 改进阈值算法

　　阈值的确定直接影响着小波阈值降噪的效果。如果阈值取得太小，噪声依然存在；如果阈值取得太大，那么有用信号的重要信息也可能被滤除。最常选用的通用阈值可用式(2)表示：

　　其中，N为信号的长度，σ为噪声的均方差估计值，由式(3)给出：

　　因为通用阈值有过扼杀有用信号的风险，文献[6]提出一种基于层间相关性的阈值选取方法。本文在此基础上结合分层阈值的思想对该阈值算法进行改进，如式(4)所示：

　　其中，r为常数，Tj，n为小波分解第j层位置n处的阈值，λj为第j层的阈值，其表达式如式(5)所示：

　　式中，Wj，k为第j层上的小波系数，j为分解层数。

　　K(n)为定义的一个参数，用来表征小波系数的层间相关性，其定义如式(6)所示：

　　式中，W(:，n)表示点n处的所有小波系数。

　　当K(n)∈[0，r)，点n处的小波系数相关性较强，点n处可能是一个信号点；当K(n)∈[r，+∞)，点n处的相关性较差，该点可能是由噪声引起的。由式(4)可知，新阈值方法通过比较小波系数层间相关性，对不同点n的阈值进行修正。当K(n)∈[0，0.5r)时，小波系数间的相关性很大，该点非常有可能是纯信号点，对阈值进行收缩，取为0.7λj；当K(n)∈[0.5r，0.8r)时，小波系数的相关性比较大，该点有可能是信号点，该点的阈值取为0.8λj；当K(n)∈[0.8r，r)时，相关性较大，该点依旧可能是信号点，减小阈值收缩程度，取为0.9λj；当K(n)∈[r，+∞)时，认为小波系数的相关性较小，该点几乎不可能是纯信号点，将阈值取为λj。

　　K(n)在计算时，要求不同层上的小波分解系数的数目一致，因此需要采用平稳小波变换(SWT)。r是测量小波系数相关性的一个重要参数，取值太小，可能会过扼杀有用信号，取值过大，可能会保留较多的噪声信息。通过相关实验，r取为0.5~1.5之间时，降噪效果比较好。本文中，r取为1。

3 构造新阈值函数

　　传统的阈值函数是由DONOHO提出的软阈值函数和硬阈值函数，软阈值函数定义如式(7)所示，硬阈值函数定义如式(8)所示。

　　硬阈值函数在小波域内存在间断点，在重构信号时会出现局部震荡现象；软阈值函数虽然在小波域内连续，但是阈值处理后的小波系数与真实小波系数存在恒定偏差，会造成信号高频有用信息的丢失。

　　本文结合文献[8]与文献[9]中的方法，构造了一个新的阈值函数，如式(9)所示：

　　其中，且α为正数，β为正数。

　　由式(9)可知，当|Wj，k|→±λ时，，即新阈值函数在Wj，k=±λ处是连续的，克服了硬阈值函数不连续的缺陷，重构信号不会有震荡产生；当Wj，k→±∞时，，即当小波系数足够大时，新阈值函数等同于硬阈值函数，从而克服了软阈值函数之间具有恒定偏的问题；同时新阈值函数具有高阶可导性。从表达式中可以看出，当α→0且β→0时，新阈值函数即为软阈值函数；当α→+∞时，u→1，新阈值函数即为硬阈值函数；适当选取α和β的值，新阈值函数可以在硬阈值函数与软阈值函数之间进行调整，灵活性更强。硬、软阈值函数的图形如图2(a)、图2(b)所示，选取不同的α和β的新阈值函数如图2(c)、图2(d)所示。

4 仿真分析

　　为了验证本文降噪算法的有效性，用MATLAB对其进行仿真试验。选用Matlab自带的Heavy sine 信号，对其加入一定的高斯白噪声，并用软阈值降噪算法、硬阈值降噪算法、本文新阈值降噪算法分别对其做降噪处理，其结果如图3所示。其中，选用sym4小波基，分解层数选为3层，新阈值函数中将α取为0.1，β取为7。

　　从视觉上，降噪效果很难评价，为了量化地评价降噪性能，采用信噪比和均方根误差[10]作为评价指标。信噪比指原始信号能量与噪声能量的比值，记为SNR，其值越大，信号中噪声含量越少，降噪效果越好；均方根误差指重构信号与原始信号的均方误差，记为RMSE，均方根误差体现了原始信号和降噪之后的信号间的差异，均方根误差越小，表示重构信号与原始信号的差异越小，即降噪效果越好。其表达式分别如式(10)和式(11)所示。

　　式中，x(i)为原始无噪声信号；为降噪后的信号。

　　各种降噪方法的性能指标如表1所示。从表中可以看出，改进的阈值降噪算法相比于其他算法，降噪后信噪比最大，均方根误差最小，所以改进的阈值降噪算法优于其他算法。

5 总结

　　本文分析了小波阈值降噪的原理，针对软、硬阈值函数的缺点，结合相关文献，提出了一种新的阈值函数，该阈值函数可以通过调整α和β参数来调整阈值函数，进而获得最佳的降噪效果。本文基于改进的新阈值函数，并结合改进的阈值确定方法，提出了一种新的阈值降噪算法。利用MATLAB进行仿真分析，实验结果表明，本阈值降噪算法降噪性能优于其他常用算法。

　　参考文献

　　[1] 张德丰.Matlab小波分析[M].北京：机械工业出版社，2011.

　　[2] MALLAT S，HWANG W L.Singularity detection and processing with wavelets[J].IEEE Trans Inform Theory，1992，38(2)：617-643.

　　[3] XU Y S，WEAVER J B，HEALY D M，et al.Wavelet transform domain filters：a spatially selective noise filtration technique[J].IEEE Trans Image Processing，1994，3(6)：747-758.

　　[4] DONOHO D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEETransactions on Information Theory，1995，41(3)：613-627.

　　[5] 王立东，张凯，王良润.改进小波阈值算法在电机振动信号降噪中的应用[J].电子技术应用，2015，41(5)：77-80.

　　[6] HE C，XING J C，LI J L，et al.A new wavelet threshold determination method considering interscale correlation in signal denoising[J].Mathematical Problems in Engineering，2015.

　　[7] DONOHO D L，JOHNSTONE I M.Ideal spatial adaption by wavelet shrinkage[J].Biometrika，1994，81(3)：425-455.

　　[8] 胡俊文，周国荣.小波分析在振动信号降噪中的应用[J].机械工程与自动化，2010，158(1)：128-130.

　　[9] 王蓓，张根耀，李智，等.基于新阈值函数的小波阈值降噪算法[J].计算机应用，2014，34(5)：1499-1502.

　　[10] 陶珂，朱建军.小波去噪质量评价方法的对比研究[J].大地测量与地球动力学，2012，32(2)：128-133.