传统微弱信号检测方法在检测信噪比极低信号时效果很差[1]，而Duffing振子混沌系统由于具有对初值极端敏感、对噪声具有较好免疫力等优点，在检测微弱信号时表现出良好效果。作为一种新的微弱信号检测方法，混沌振子方法不是消除噪声，而是从噪声背景中提取信号，针对其独特性可将其应用到实际工程中，包括心电信号检测[2]、GPS信号捕获[3]、机电设备早期故障诊断[4]等方面。

　　本文在分析Duffing非线性动力学系统运动特性基础上，针对Duffing振子微弱信号检测方法存在的问题，提出基于伪哈密顿量的变尺度Duffing振子弱信号检测方法。

1 理论分析

　　1.1 基于Duffing方程微弱信号检测原理

　　选用连续动力学系统中Duffing振子作为研究对象，Duffing方程标准形式为[5]：

　　式(1)中，k为阻尼比，r为策动力振幅，w为策动力角频率。

　　式(1)加入待测信号并写成状态方程形式为：

　　上式中为外部引入的湮没在噪声中的微弱正弦信号，h为待测正弦信号幅度，为待测信号与Duffing系统内置周期策动力信号频率差， 为待测信号初始相位， n(t)为待测信号中混有的噪声。

　　在Simulink仿真环境下由式(2)即可构造出传统的混沌振子检测微弱信号的检测模型。

　　1.2 Duffing系统混沌判据

　　传统上用Lyapunov特性指数(LCE)确定系统从混沌态跃变到周期态的相变阈值rd，用梅尔尼科夫(Melnikov)函数进行理论计算得到混沌阈值rc的粗略估计值[6]。Duffing方程的Melnikov函数形式如下：

　　1.3 高频参数待测信号尺度变换

　　式(4)说明混沌阈值与周期策动力频率有关，当k=0.5时，其关系如图1所示。可见当系统阻尼比k固定时，在低频段只需要很小幅度的驱动力就会使系统产生混沌，而在高频段时则需要较大的驱动力。另一方面，Duffing系统只有在低频参数条件下有较好的动态特性和检测效果，且Duffing振子检测信号时，不同频率待测信号对应的相变阈值也不同，如果每次检测过程都要搜索相变阈值，将大大增加检测复杂度。

　　在处理工程信号时，文章对待测信号进行二次采样，即引入变尺度系数R，对待测信号进行频率/时间尺度变换。若待测信号角频率为w，其采样频率为fs，则数值计算的步长为dt=1/fs。对检测系统引入变尺度系数R相当于将信号的时间间隔增大了R倍，相应的信号角频率被压缩R倍后变为w/R，此时数值计算步长变为dt′=Rdt=R/fs。

2 自相关与小波变换联合去噪

　　设已知频率待测信号为：x(t)=s(t)+n(t),s(t)是周期信号，n(t)是均值为零的高斯白噪声，信号自相关输出为：

　　式(7)中，n′(t)是相关信号中混有的噪声。

　　实际中由于积分时间不可能无限长，噪声只能得到一定程度的抑制[7]，剩余噪声可通过对相关后信号进行小波阈值变换进一步削弱。

　　小波阈值消噪过程中，信号经过小波变换后，可以认为由信号产生的小波系数包含有信号的重要信息，其幅值大，但数目较少，而噪声对应的小波系数幅值小。因此，通过在不同尺度上选取一合适阈值，并将小于该阈值的小波系数置零，而保留大于该阈值的小波系数，从而使信号中的噪声得到有效抑制。最后进行逆小波变换，得到去噪后的重构信号。

3 Duffing系统伪哈密顿量

　　考虑平面微分动力系统：

　　则称式(8)为平面哈密顿系统，其中H(x1,x2)称为该系统的哈密顿量。

　　对于式(1)Duffing方程，不考虑阻尼项和策动力的影响，可以改写为：

　　实际应用中阻尼项和策动力对于系统的哈密顿量有一定影响，但对系统能量分布几乎没有影响，此时的哈密顿量为伪哈密顿量(PH)[8]。图2为Duffing系统PH值分布情况，两个鞍点处PH值最低，系统混沌特性越明显PH值越低，大尺度周期状态时PH值最高。

　　用下式构造Duffing系统平均哈密顿量(APH)。

　　式(17)中，N为动力系统的时间序列长度，i为系统的第i个状态。图3是策动力为rcos(t)时，策动力幅值变化时Duffing系统APH值变化情况。基于图3中APH值阶跃型跳变特性来设定阈值，进而判断是否存在微弱信号。

4 仿真测试和分析

　　基于前面分析，提出如图4所示基本原理检测低信噪比微弱信号。

　　仿真环境下为试验待测信号，n(t)为均值为零的高斯白噪声。检测系统相关参数为：系统初始状态(x,0)=(0,0)， k=0.5, fs=10 000 Hz，h=0.000 3 V,w=200 rad/s，w=0,采用四阶Runge-Kutta方法对Duffing方程进行数值求解，数值计算步长为:

　　dt=1/fs=0.000 1         (13)

　　引入变尺度系数R=200,变换后信号角频率w′=1 rad/s，则二次采样频率fs′=fs/R=500 Hz，数值计算步长dt′=Rdt=0.02。

　　图5~图7分别为-20 dB待测信号及此信号先后经过自相关器和小波阈值变换后的输出，从图就能直观看出两次去噪过程均提高了待测信号信噪比。

　　本文算法采用信噪比改善因子SNIR衡量去噪效果，其计算式如下：

　　SNIR=SNRout-SNRin  (14)

　　式中：SNRin为输入信噪比，SNRout为输出信噪比。

　　图8为不同输入信噪比条件下的SNIR值，由图可知，通过相关运算可以抑制部分噪声，对相关后信号进行小波阈值变换，信噪比又有一定程度改善，且在一定范围内，输入信号信噪比越低，这种改善越明显，证明了本文方法的有效性。

　　若系统APH值用T表示，仿真得到阈值rd=0.827 856 7，数次验证后选APH值判决系统状态的门限值为=0.35，则有：

　　实验中取t=100 时Lmax值作为最终系统状态稳定的Lmax值，实验得到表1~表3结果。

　　从表1~表3数据看出，基于伪哈密顿量和Lyapunov指数的系统状态判别方法结果是一致的。另外，混沌检测系统能够检测的信噪比门限为-10.5 dB, 相关-混沌检测系统能够检测的信噪比门限为-35.5 dB，相关与小波变换联合-混沌检测系统能够检测的信噪比门限为-39 dB，由此可见本文检测算法的有效性和优越性。

　　实验得到，利用系统APH值判别状态的平均计算时间为0.62 s，利用系统状态稳定时Lmax值判别状态的平均计算时间为6.7 s。可见，APH值算法计算效率明显高于Lyapunov特性指数算法。

　　本文提出基于伪哈密顿量的变尺度Duffing振子弱信号检测方法，通过频率/时间尺度变换把高频信号转换为固定角频率1 rad/s的信号，方便了设置系统相变阈值，克服了传统方法低频参数信号的限制；搭建相关与小波阈值变换的联合去噪系统,极大程度地改善了信噪比，避免了噪声对检测结果的不利影响；构造Duffing系统伪哈密顿量实时地表征系统动力学行为，解决了定量判断系统状态时计算量大，效率低的难题。仿真分析验证了本文所提检测方法的有效性和优越性。

　　参考文献

　　[1] 高科, 孙晶华. 微弱信号检测方法研究[J]. 微型机与应用,2011,30(21):67-68.

　　[2] 张红煊, 朱贻盛,牛金海,等. 异常心电节律VT和VF信号的复杂性分析[J].物理学报, 2000,49(8):1416-1422.

　　[3] 黄鹏达, 皮亦鸣.基于混沌振子的微弱GPS信号检测算法[J]. 电子测量与仪器学报, 2008,22(4):49-49.

　　[4] 胥永刚,马海龙,付胜,等.机电设备早期故障微弱信号的非线性检测方法及工程应用[J].振动工程学报, 2011,24(5):529-538.

　　[5] 魏世朋,张天骐,白娟,等.用Duffing 振子阵列解调微弱π/4-DQPSK信号[J].电子技术应用, 2011,37(11):120-124.

　　[6] 杨红英,叶昊,王桂增,等. Duffing振子的Lyapunov指数与Floquet指数研究[J]. 仪器仪表学报,2008, 29(5):927-932.

　　[7] 李健, 周激流, 孙涛,等.自相关级联混沌振子法实现随相弱正弦信号的检测[J]. 四川大学学报 (工程科学版),2010,42(1):191-195.

　　[8] CHENG D. Stabilization of time-varying pseudo-hamilton-ian systems[C].Control Applications, 2002. Proceedings ofthe 2002 International Conference on. IEEE,2002(2):954-959.