0 引言

    在三维集成SiP（System in Package）中，硅基转接板具有互连密度高、散热性好及与芯片的热机械兼容性好等方面的优势，已经成为重要的多芯片集成和芯片间互连架构技术之一。SiP中元器件及其相互间互连集成度的日益增长容易导致互连结构之间出现不可忽视的电磁寄生耦合与干扰，而高密度互连网络复杂的结构特征使得解析方法很难精确地揭示这些寄生效应和预测其对电磁信号在互连上传输特性的影响，因此计算电磁学方法将成为首选分析方法。

    与矩量法(Method of Moments，MOM)、有限元法(Finite Element Method，FEM)、传输线法(Transmission-Line Modeling，TLM)等计算电磁学方法相比，YEE K S^[1]于1966年首次提出的FDTD法可以实现时域电磁波传播的直接仿真，在计算资源的占用、媒质参数的空间分布、目标形状复杂性的适应性和算法实现的难易度方面具有优势，更适合于转接板中2.5维、3D化互连电磁场的分布、传播特性的分析。

    考虑到转接板互连在板平面方向上可以视为二维开放性空间问题，故需要引入吸收边界条件（Absorbing boundary condition，ABC）的概念，使得在有限大的二维网格空间中就能完成相应的电磁场传播行为仿真^[2]。常用的吸收边界有：MUR G^[3]通过对波动方程进行因式分解，近似得到的二阶Mur边界；MEI K^[4]等提出的超吸收边界；BERENGER J P^[5]通过在边界处加入吸收材料提出的PML技术。吸收边界条件的设定对计算结果的正确性和精确性有很大影响。

    本文以三维集成转接板互连结构间的电磁干扰特性分析为背景应用，以转接板水平互连层间的二维TE波平面传播这一电磁干扰常见的传播模式为主要研究对象，分析了Mur、PML边界条件的基本解析公式并导出相应的离散算法，编制了用FDTD算法仿真二维TE波传播的C++软件代码，比较了在二阶Mur吸收边界与PML吸收边界下TE波的传播特性以及这两种边界设定的有效性。

1 三维集成转接板中TE波的传播

    三维集成转接板上的互连结构如图1所示，以下介绍用FDTD算法推导TE波离散数值解的简要步骤。

    二维情况下，假设所有物理量的表达式均与z无关，即=0。以二维TE波为例，在直角坐标中麦克斯韦的旋度方程可以表示为：  

式中CA(m)、CB(m)、CP(m)、CQ(m)是介质参数随坐标变化的系数。Δx与Δy为x、y坐标方向的网格剖分步长，Δt为时间步长。TE波中电场与磁场网格在空间上的分布如图2所示，在时间上的分布规律为：电场点分布于nΔt时刻而磁场点分布于(n+1/2)Δt时刻。

    由式(2)～式(4)可得用FDTD法计算电磁场的基本离散化方式：电场与磁场在时间和空间上都有半个步长之差，任意时刻，某网格点处的电（磁）场量值不仅与前一时刻的电（磁）场量值有关，而且与前1/2Δt时刻与空间上相邻点的磁（电）场值有关。

    考虑到计算机的有限内存，用FDTD法求解电磁场时要将求解区域限定在有限空间内，这就要在截断边界处添加吸收边界，以下是对Mur与PML两种吸收边界原理的简单叙述。

1.1 Mur吸收边界条件

    Mur边界条件是根据EM^[6]（Engquist-Majda）吸收边界推导所得的，对行波因子进行分解后的展开式有多阶，通过理论分析判别得到：一阶与二阶的吸收边界是良态的，更高阶的吸收边界是病态的^[6]。一阶近似Mur吸收边界虽简单易行,但直角坐标系下的Yee网格划分在角区域存在较大误差^[7]，所以本文中用二阶Mur边界条件。若所计算的区域是矩形0≤x≤a，0≤y≤b，那么就存在四个截断边界。

    如图3所示，以左截断边界x=0处的吸收边界条件为例：

    同理可推导出其余三个边界处吸收边界的离散式。

    其余3个拐点附近的磁场值可通过替换式(9)中相应的坐标得到。

1.2 PML吸收边界条件

    PML技术通过在FDTD区域截断边界处设置一种特殊介质层，使得该介质的波阻抗与相邻介质的波阻抗完全匹配，这样入射波将会无反射地穿过分界面而进入PML^[8]。PML边界参数设置如图5所示，图中PML区域的参数必须满足阻抗匹配条件式(10)，右上角介质层的网格划分如图6所示。

    由于电磁波在PML介质中衰减得很快，因此在PML区域中要使用指数差分对式(11)进行离散，所得PML区的计算公式为：

    同理根据式(10)可得出磁导率的变化公式。

    PML边界的吸收性能主要受吸收层厚度及垂直波反射率的影响。理论上说，增大PML吸收层数N会使计算结果更加精确，但这会增大计算开销；垂直波反射率R(0)越小则计算结果的精度越高。

    在文献[6]中,通过数值实验证明N=4的情况下，最优取值为n=2，R(0)=0.001％。

    Mur与PML边界都是吸收效果较好且较常用的算法，对边界处的波都有比较明显的吸收效果，但对不同的应用背景选择的吸收边界条件也不同。

2 基于C++编程的仿真分析

2.1 仿真参数设置

    在x轴与y轴方向分别对转接板上的水平互连结构进行网格剖分，设其长度为L，宽度为W，简化图如图7所示。用FDTD法仿真不同吸收边界条件下TE波在三维集成转接板上传播的流程图如图8所示。

    如图9所示，设置100×100网格的自由空间作为验证算例，添加PML吸收边界时在四周各添加10个网格作为介质层。为了观察不同吸收边界的吸收性能，相应设置了由1 200×1 200网格自由空间构成的参考算例，并在四周设置PEC边界。自由空间较大使得反射波在600?驻t后不会返回到取样点，则参考算例中取样点的场可作为参考场。

    在验证算例和参考算例的中心位置放置微分高斯脉冲源（如式(19)）用于激发整个空间场，示意图如图10所示。

式中，τ=10Δt，代表高斯脉冲的宽度；t₀=30Δt，脉冲在t=t₀到峰值。时间步长Δt=max(Δx)/c，空间步长为max(Δx)=λ_min/20，其中，c是自由空间中的光速，λ_min是各种介质中最小波长，λ_min=10^-2 m，空间步长Δx=0.5 mm，时间步长Δt=1.666 7 fs。

2.2 误差函数分析

    为了检测吸收边界条件的有效性，需要考虑加入吸收边界后某点的磁场值与对应参考算例磁场值大小之间的差异。将观察点设置于点P(119，70)，引入误差函数式（20），通过计算P点场值的误差，可以直观判断哪种吸收边界条件更为合适。

    从图11中可以看出，加入PML吸收边界条件后，误差函数的变化曲线几乎一直保持比较稳定的状态，没有突变，最大误差仍然在-100 dB以下。加入Mur吸收边界条件后误差曲线在时间步为300～350及575～580内变化剧烈，吸收性能不稳定。这表明二维TE波中PML边界的吸收性能比Mur吸收边界更稳定。

2.3 等相位线分析

    图12所示为加入Mur吸收边界条件。从图12（a）和图12（b）可以看出：加入PML吸收边界后等相位线呈现同心圆分布，且可以在足够长的迭代时间内不发生数值发散。加入Mur吸收边界以后，等相位线不是完整的同心圆分布，波传播到网格最外层出现了边界反射。因此从等相位线的角度出发，可以认为PML边界设置可以较好地吸收边界处的波而几乎不发生反射。

    根据仿真分析，不同的边界条件有各自的优缺点：

    (1)Mur吸收边界条件：吸收性能相对较差，算法原理相对简单，所需的内存较少。

    (2)PML吸收边界条件：在合理的参数设置下吸收性能较好，但是采用分裂场的形式会占用较多的内存。

    综上所述：加入PML吸收边界后，等相位线呈同心圆分布，误差函数呈稳定状态，并且波在传播过程中基本没有明显的边界反射现象。这说明在处理三维集成转接板互连结构中的电磁干扰等相关问题时，PML吸收边界条件具有较良好的吸收效果。

3 结论

    本文针对三维集成转接板水平互连结构间基于FDTD算法的TE电磁波传播仿真的边界条件设置问题进行了分析与验证。对二阶Mur边界与PML边界这两种吸收边界在电磁仿真中吸收电磁波的性能进行了分析比较。结果表明加入Mur吸收边界条件虽算法简单、内存占用较少，但吸收效果显然不如PML吸收边界。加入PML吸收边界使结果更加稳定且不会产生数值发散，提高了计算结果的精度，可以作为工程中对三维集成转接板电磁传播问题进行仿真求解的常规边界条件设置。

参考文献

[1] YEE K.Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell′s equations in isotropic media[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1966，14(3)：302-307.

[2] 闫淑辉.基于时域有限差分(FDTD)法的通用电磁仿真软件设计[D].成都：电子科技大学，2003.

[3] MUR G.Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic-field equations[J].IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，1981，EMC-23(4)：377-382.

[4] MEI K，FANG J.Superabsorption-a method to improve absorbing boundary conditions[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1992，40(9)：1001-1010.

[5] BERENGER J P.A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves[J].Journal of Computational Physics，1994，114：185-200.

[6] ENGQUIST B，MAJDA A.Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves[J].Mathematics of Computation，1977，31(139)：629-651.

[7] 张清河.时域有限差分(FDTD)法中的吸收边界条件[J].三峡大学学报(自然科版)，2004(5)：464-466，474.

[8] 施亚妮，李丽娟.FDTD方法吸收边界条件的研究及应用[J].计算机仿真，2008(7)：113-116，148.

作者信息:

张云霞1，缪  旻1，2，胡变香1，韩  波3，李振松1

(1.北京信息科技大学 信息微系统研究所，北京100101；

2.北京大学 微米/纳米加工技术国家级重点实验室，北京100871；

3.电信科学技术研究院有限公司 无线移动创新中心，北京100080)