摘　要： 对给定的白噪声" title="白噪声">白噪声序列进行小波" title="小波">小波分解重构" title="重构">重构，去除序列中的框架及近似成分；通过比较原序列与重构序列之间自相关函数的差异是否显著来检验原假设；模拟实验对传统检验方法与小波分析" title="小波分析">小波分析方法进行了比较，实验表明后者有更强的检验效果。
　　关键词： 白噪声序列 假设检验" title="假设检验">假设检验 显著水平 小波分析 自相关函数

　　白噪声序列在应用时间序列分析中有着重要的作用，例如在判断为数据建立的统计分析模型是否合理时，对模型的残差进行白噪声检验是判别模型合理性的重要依据。另外，在信息安全领域，物理白噪声在随机数产生方面有重要应用^[1]，其中包括对白噪声序列的检验问题。因此，如何提高白噪声序列的检验功效，值得研究。
　　由于在时、频域同时具有良好局部化的特性，使得小波分析(也称为多分辨分析)在很多领域得到越来越广泛的应用。本文应用小波分析，通过小波分解系数的特点抑制白噪声信号(即序列)中所含的弱相关信号或者成分来满足检验功效更强的要求。实验表明，本文提供的白噪声序列小波分析方法与传统检验方法相比，检验功效较高。
1 小波分析原理
　　下面具体介绍本文应用Mallat快速小波变换的小波分解重构原理^[2]：
　　设{x(n),n=1,2,…，N}是所给待检验的序列，经Mallat快速小波分解M层(本文小波函数选择db3小波，M=6)后，得到M+1组数据
　　{d(1,k)},{d(2,k)},…,{d(M,k)},{a(M,k)}
　　其中{d(j,k)}表示细节成分的系数序列；j=1,2,…，M表示尺度；k=1,2，…，N/2^j表示序列长度；{a(M,k)}表示信号轮廓或近似成分(本文称为弱相关信号或成分)。
　　白噪声序列经Mallat变换分解后的系数仍是白噪声序列^[3]，并随着分解层次的增加而迅速衰减。所以随着层次的增加，噪声序列的影响越来越小，而弱相关信号的影响越来越明显。同时，在各个层次细节成分系数中也可能有弱相关成分，故对经小波分解后的M+1组数据可以分别进行如下处理：
　　(1)将{a(M,k)}的绝对值与阈值^[4]比较，大于阈值的系数赋为零，然后按照Mallat重构算法得到重构序列{x′(n),n=1,2,…，N}。
　　(2)对每一层的细节成分系数列{d(j,k)}进行自相关函数估计，并使用下面检验原理中的传统检验方法进行假设检验。对于不满足原假设H0的某层系数列值也要与阈值比较，绝对值大于阈值的系数赋为零，而其它层系数列保持不变，然后按照Mallat重构算法得到重构序列{x′(n),n=1,2,…，N}。
　　由于(2)中计算量较大，为便于计算说明本文的原理，笔者只采用(1)中的处理方法对原序列进行小波分解重构，并设阈值为零。
2 检验原理
　　本文用到的白噪声序列均假设为WN(0，δ²)^[5]序列。
2.1 传统白噪声检验方法^[5]
　　传统的白噪声序列检验方法只针对待检验序列是否满足原假设进行检验，即：
　　原假设H₀:{x(n)}是独立白噪声
　　否定假设H₁:{x(n)}是相关序列

　　是否成立，其中λ_α是给定显著水平为α，自由度为m的χ²分布临界值。
2.2 白噪声检验小波分析方法
　　设给定的序列为{x(n),n=1,2,…,N}，经小波变换后所得的序列为{x′(n),n=1,2,…,N}。若原序列是一独立白噪声，那么经小波分解重构后的序列也应满足独立白噪声序列条件^[3]，反映在自相关系数关系上应大致相等，也就是说这两个序列自相关系数之比应十分接近1，即
　　
　　其中, {ρ_k,k=1,2,…,m}是原序列自相关系数，{ρ_k′,k=1,2,…,m}是小波分解重构后的自相关系数。
　　根据上述分析，可以得到以下的检验方法：
　　原假设H₀：{x(n)}与{x′(n)}的自相关函数无显著差异。
　　否定假设H₁：{x(n)}与{x′(n)}的自相关函数有显著差异。
　　上面的假设检验表示原序列中是否含有一个趋势信号或相关信号，所以以上假设等同于如下假设：
　　原假设H₀：{x(n)}是独立白噪声。
　　否定假设H₁：{x(n)}是相关序列。

3 模拟结果
　　本模拟计算中的数据来自以下AR(2)模型^[5]的N=512个观测。
　　X_n=2βcos(θ)X_n-1-β²X_n-2+ε_n
　　对于θ=1.13和不同的β均进行300次独立重复试验。用p表示300次独立重复试验中否定H₀的比例。β=0表示观测数据是白噪声。本试验取m=5, α=0.05。
　　　　　　　　β= 0 1/10 1/6
　　传统检验　　p= 4.3% 19.1% 49.0%
　　本文检验　　p= 4.5% 20.1% 51.8%
　　　　　　　　β= 1/4 1/3 1/2
　　传统检验　　p= 90.2% 100% 100%
　　本文检验　　p= 93.4% 100% 100%
　　不难看出，本文检验的效果总体上比传统的要好，也就是说本文的检验功效比传统检验功效高。
　　在白噪声序列检验中，如果序列中有弱相关信号或成分会被淹没在噪声中，无法判断这些弱相关成分是噪声的随机因素产生的，还是一种相关成分。小波分析能够把这部分成分分离，通过比较重构后的序列与原序列的自相关函数是否有显著差异来判断序列的噪声特性。如果原序列是白噪声序列,那么弱相关成分就是由噪声的随机因素产生的，反之就判断为相关成分。故这种检验方法比传统检验方法更有效，模拟实验也证明了检验功效更高。
　　但序列的Mallat小波分解重构过程中还有值得探讨和改进的地方，例如各层系数相关成分的阈值确立及小波函数的选择都会对检验效果产生影响，尤其是小波分解所产生的边缘效应对检验效果的影响还有待进一步研究。
参考文献
1 B. Schneier. Applied Crytography: Algorithms and Source Code in C. Jone Wiley & Sons, 1994:301～307
2 李弼程，罗建书. 小波分析及其应用. 北京：电子工业出版社, 2003:28～40
3 S. Mallat, Sifen Zhong. Characterization of Signals from Mul-tiscale Edges. IEEE Trans. on PAMI,1992;14(7)
4 D. L. Donoho. De-noising by soft-thesholding, IEEE Tans. On Information Theory,1995；41(3):713～727
5 何书元.应用时间序列分析.北京：北京大学出版社，2003:139～143
6 中山大学数学力学系《概率论及数理统计》编写小组.概率论及数理统计(下册). 北京：高等教育出版社，1980:16～28