摘 要： 为消除经典P-M方法在图像平滑时引起的“阶梯”效应，提出了基于自适应参数的高阶偏微分方程图像平滑方法，并且利用Mean Shift的核密度估计方法来确定各点阈值参数。与固定阈值参数的各向异性扩散方法相比，该方法有效地保持了图像的边缘等重要信息,能够更大程度地抑制孤立噪声,从而得到更高的PSNR值和更好的视觉效果。
关键词： 图像平滑； 自适应参数； 各向异性扩散； 高阶偏微分方程
图像平滑作为图像预处理基本步骤之一，为后继图像处理带来很大方便，最常见图像平滑方法是线性高斯滤波。KOENDERINK指出图像I0(x,y)与不同尺度的高斯核卷积所得到的平滑图像等价于传导系数为常数的热扩散方程的解，此解属于各向同性扩散,在平滑同时造成图像特征的模糊化[1]。PERONA等提出了如下各向异性扩散模型[2]：
就被认为该点处于区域内部并对其进行平滑，否则认为该点处于边缘对其进行增强。由于P-M各向异性滤波具有选择性平滑机制，在平滑图像区域内部同时又保持原始图像边缘结构,因此达到了优于线性滤波器的效果。滤波器阈值参数决定滤波器的性能，该值起到一种边缘检测作用。“阶梯”效应一直是困扰着P-M方法的严重问题[4]，这是由它的偏微分方程所决定的，是所有低阶非线性扩散方法所固有的。
基于上述问题，在图像平滑时提出了基于自适应的高阶偏微分方程图像平滑方法,避免了传统P-M方法图像平滑方法的缺陷，获取比较好的视觉效果。
1 高阶方法的提出
P-M方法处理结果是分段恒定的[5]，容易导致结果图像“阶梯”状分布，视觉效果不理想。而高阶方法的处理结果是分段线性的,在视觉感知上明显优于P-M方法。
2 自适应阈值的参数估计
参数k的选取是非线性扩散方法的一个主要难题。如何确定扩散的范围及扩散的程度，使降噪和强化顺利进行的同时，图像信息又不致因过度平滑而大量损失，是应用时需要解决的关键问题。传统确定参数的方法是人为指定一个固定常数。一般来说，不同图像需要设置不同参数值，后来也有学者提出自动估计梯度阈值的方法，如提出自动估计梯度阈值的公式Sapiro[4]：
由于图像不同区域边缘强度分布不一致，噪声也不同，而且不同尺度空间边缘强度和噪声也不一样，因此对整幅图像使用同一个全局固定的参数是不合适的。本文提出了自适应阈值参数选择方法，使得该算法阈值参数可以完全自动确定，真正实现自适应阈值参数非线性滤波。
上述分析完全是一种理想化假设，对于实际图像处理存在如下两大困难：
(1)由于邻域内所取样本有限，从样本直方图不能直接得到完全规则分布的曲线，很难正确地选取阈值参数k(x)值。
(2)现实图像中，即使在同一区域内，平均灰度值往往是变化的，而不是严格满足分段常数模型。
为克服以上问题,采取Mean Shift核平滑方法对算子直方图进行处理，使其尽可能准确地刻画多峰分布情况。
直方图平滑效果示例如图2所示。
为了降低计算复杂度, 在估计参数k(x)时，每隔r/2距离计算一次(r为邻域半径)，然后对每个像素点选择最近邻的最小值近似为该点阈值参数，并且每一次迭代之后更新参数k(x)值，也可设置每隔若干迭代次数更新一次参数k(x)值，这样可保证一定精度的前提下，大大提高效率。由于基于直方图算法复杂度较低，阈值参数估计计算相对于图像平滑本身计算开销较小。
3 实验结果及分析
为了比较自适应参数的高阶方法和P-M方法平滑的性能，进行不同实验并加以分析。
(1)选用若干幅标准图像进行测试，图3显示没有加入噪声的Grid图像平滑效果,从图中可看出当迭代次数比较多时，P-M方法平滑的部分边缘明显被模糊了，而本文方法获取的效果比较理想。
(2)图4是对加入噪声的图像去噪的实验结果，图5给出了对图4各边缘的提取结果，其中图5(b)采用最经典的Canny边缘提取算子。从图4和图5中可看出，P-M方法抑制孤立噪声点和保持图像边缘的效果并不十分理想。图4(b)和图5(b)中，平滑后天空和地面存在很多孤立噪声点，建筑物边缘也很模糊，图像中细节信息也有较大程度损失。从图4(c)和图5(c)来看，本文方法很好地实现了图像平滑和保持边缘的折衷，保证了图像视觉连续性，其视觉效果明显优于P-M方法。
对于图4(b)和图4(c)而言，在迭代次数相同的情况下，自适应参数高阶方法所能达到峰值信噪比比P-M方法所能达到峰值信噪比要高得多，并且平均耗时比P-M方法增加不到20%。表1为对于Cameraman图自适应参数高阶方法与P-M方法运行时间和峰值信噪比的对比结果。
本文首先对经典P-M方程存在两大问题进行分析，提出了自适应参数高阶偏微分方法，有效解决了P-M方法“阶梯”效应及其阈值参数选取问题，图像平滑效果比较好，在耗时相对不长的情况下所能达到的峰值信噪比也P-M方法高。
参考文献
[1] BARASH D, COMANCIU D. A common framework for nonlinear diffusion, adaptive smoothing, bilateral filtering and mean shift [J]. Image and Vision Computing, 2004,22(1):73-81.
[2] PERNA P, MALIK J. Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J]. IEEE Trans on Pattern Anal Machine Intell, 1990:12(7):629-639.
[3] YOU Y L, XU W, TANNENBAUM A, et al.Behavioral analysis of anisotropic diffusion in image process-
ing [J]. IEEE Trans. Image Processing, 1996(5):1539-1553.
[4] WAND M P, JONES M C. Kernel smoothing [M]. New York: Chapman & Hall, 1995.
[5] BLACK M J, SAPIRO G, MARIMONT D H, et al. Robust anisotropic diffusion[J]. IEEE Trans on Image Processing,1998,7(3):421-432.
[6] YOU Y L, KAVEH M. Fourth-order partial differential equations for noise removal[J].IEEE Transactions on Image Processing. 2000,9(10):1723-1730.