运算放大器是重要的电子器件之一，理想的运算放大器具有开环增益Ao无穷大，差模输入电阻Ri无穷大，输出电阻Ro为零的特点。而实际的运算放大器Ao和Ri有限，Ro常为几十欧姆，加之存在失调和温漂等的影响，其实际增益会偏离目标增益。在应用中，常常将实际运放等效为理想运放处理，而对这种等效是否合理、误差到底有多大及如何尽可能减少误差，没有定量的认识。本文希望在分析讨论运放的非理想参数影响的基础上解决这一问题。
    实际运放较理想运放的偏离程度在一些资料中有所介绍，其中戴维德给出了一定反馈网络下，考虑Ao、Ri、Ro非理想运算放大器增益的表达式和相关运算放大电路的设计步骤，强调了使运放增益误差最小的最佳反馈电阻Rf的选取原则[1]； 2001年，张学文等分析了运算放大器的误差，介绍了外围参数的选取[2]，其中也谈到了最佳反馈电阻的选取。但物理试验和工程应用中，由于失调电流、运放负载能力、频率响应、单位增益带宽、噪声和电阻标准系列值等的限制，反馈网络电阻的选取并非总能取得使增益误差最小的理论最佳值，为此需要分析非理想参数对增益误差影响的定量规律，从而方便对影响电路性能的重要因素给予优先考虑。
1 非理想运算放大器的增益及误差的理论推导
    以反相放大电路的分析为例。实际运放模型的反相放大电路如图1所示，反馈电阻为Rf，闭环输入电阻为R1，差模输入电阻为 Ri，开环放大倍数为Ao，输出电阻为Ro，输入信号为Vin，输出为Vout。WILLIAM J，HAYT H等给出了其增益的推导[3]，方法简述如下：

    根据基尔霍夫电流定理对输入输出两节点列写节点方程：
 

    由图2可以看出，曲面中部有很大的平坦区，其对应增益百分误差近似为零，这就意味着在此反馈电阻和目标增益范围内?滋A741非常接近理想运放；而在平坦区两侧，曲面逐渐升高，对应的增益误差值增大。大约在Rf小于1 kΩ且增益大于500，或Rf大于100 MΩ(工程上推荐10 MΩ以内，是因为偏置电流等其他因素的影响)时误差才开始变得明显，而并非一定要取一个确定的“最佳反馈电阻”[1,2]。为验证本文观点的合理性，将最小增益误差与平坦区其他值所对应的增益误差作比较。由参

    增益百分误差?酌在数个典型目标增益Go下随反馈电阻Rf变化的关系曲线，如图3所示。

    由图3可见，表1所示的最佳反馈电阻落在平坦区域中部，而整个平坦区域的增益误差几乎没有差别，即：对于已选定的运放，若目标增益已定，其理想增益误差已基本确定，且反馈电阻可以在很大范围内取值。
    由图3还可以看出，增益误差对应的平坦区域范围，以及增益误差的大小受目标增益的影响。随着目标增益的增大，增益误差明显变大，平坦区域相应减小。由此可以得到结论：对于反相运算放大电路，若所要求的增益较小，则反馈电阻可在更大范围内取值，且误差更小。
2.2 增益误差与运放参数、反馈电阻的关系
    为研究增益误差与运放参数的关系，需取目标增益为定值，由于目标增益大时增益误差大，为凸显误差，便于观察，不妨假设目标增益值为5 000。以μA741为例，由式（5）、式（6），作出开环增益Ao、输入电阻Ri、输出电阻Ro取值不同时，增益百分误差?酌随反馈电阻变化的曲线，如图4所示。

    由曲线1、2、3可知，影响增益误差的最主要因素是Ao，Ao越大，增益误差越小，反馈电阻取值的范围越大。
    由曲线1、4、5、6可知输入输出电阻对增益误差值影响很小，而对反馈电阻取值范围有一定影响。输入电阻的影响主要体现在反馈电阻很大时，输入电阻越大，平坦区域越宽，误差越小；输出电阻的影响主要体现在反馈电阻很小时，输出电阻越小，平坦区域越宽，误差越小。
2.3 不同运放非理想参数对增益误差影响的比较
    以上分析了典型低成本运放μA741的情况，下面以目前普遍使用的低噪声精密运放Op27为例进行分析。与μA741相比，由于是精密运放，其参数有明显改进，Op27的Ao=1.5×106，Ri=4×106Ω，Ro=70 Ω。采用同样的分析方法，分别作出与图2对应的图5，图3对应的图6。

    比较可知，Op27的性能较μA741有明显的改进，由于其Ao及Ri较大、Ro较小，根据前面的分析，较大的Ao使Op27较μA741有更大的平坦区域以及更小的增益误差。用MathCAD可以计算出Rf在一定范围内取值时Op27与相应的增益误差，如表2所示。

    表2表明Op27较μA741有更大的平坦区域以及更小的增益误差。
    图6可知，目标增益100以内，Rf在很大的平坦区取值时非理想参数导致的误差已小于0.01%。可以推断，随着运放性能的不断提高，在增益不是很大的情况下，只要反馈电阻的值取在平坦区，误差已优于0.01级精密电阻（其制造已十分困难）的误差，也小于接触电阻、热电势、温漂等因素的影响，此时在工程上不必再考虑运放的非理想性，可将其直接视为理想运放考虑。
    本文采用MathCAD作图方法将繁琐的表达式化为简洁的曲线，阐释了相关因素对增益误差的影响：运放的差模输入电阻和输出电阻对增益的影响较小，而开环增益是主要影响因素。开环增益越大误差越小；目标增益较小，增益误差也较小；对现代运放而言，反馈电阻可以有很大的取值范围，基本不受运放非理想参数的限制，无需取特定值就可将误差减小至最小程度。这些规律为设计满足特殊要求的运放电路提供了方便，实际应用中可以优先考虑影响设计目标的主要因素，这就大大提高了参数选取的灵活性和可操作性。
参考文献
[1] 戴维德.运算放大器电路设计手册[M].北京：人民邮电出版社，1983：119-131.
[2] 张学文，邹梅.集成运算放大电路的误差分析及外围元件参数的选择[J].湖北师范学院学报，2001，21（2）：53-56.
[3] HAYT H，WILLIAM J，JACK E K，et al.工程电路分析[M]. 北京：电子工业出版社，2002：140-142.
[4] 思索.Mathcad 7.0实用教材[M].北京：人民邮电出版社，1998.