摘 要： 传统卫星导航定位中广泛采用四面体体积最大法来选择星座，该方法以牺牲定位精度提高星座选择速度。本文提出了基于雅可比法计算几何精度因子，以几何精度因子最小为依据选择星座的新算法。仿真结果表明，新算法既能满足实时性的定位要求，又可以不牺牲精度。
　　关键词： 几何精度因子；快速星座选择；四面体体积最大法；雅可比法

　　卫星导航定位技术在现代测绘、航天和国防等领域都有广泛应用。国际上，很多国家都在建设自己的导航定位系统，如美国的GPS、俄罗斯的GLONASS、英国的Nexstar、欧盟的GNSS-1和GNSS-2等^[1-2]。国内现已建立了北斗一代导航定位系统，目前正在建设北斗二代导航定位系统。随着导航定位的广泛应用，人们对导航定位的精度要求也越来越高。
 导航定位的精度主要与两个因素有关^[3]：(1)接收机的精度，即测距误差；(2)相对接收机而言，卫星的几何构形。由卫星几何位置决定的对用户测距误差的放大程度，称之为几何精度因子，简称GDOP(Geometric Dilution of Precision)^[2]，合理地选择导航卫星组合使其GDOP最小，定位误差也就会降到最小。目前广泛使用的星座选择算法是四面体体积最大法^[4]，该算法不直接计算GDOP，而只计算四颗卫星构成的四面体体积，从而避免了矩阵求逆的复杂运算，减小了处理器的负荷，提高了处理速度。虽然满足星座选择的实时性要求，但牺牲了定位精度。
　　当前，处理器已取得了很大发展，处理能力极大提高，处理器对算法的限制有一定放宽，人们对定位精度有了更高的要求，所以对定位精度的改善成为当前星座选择算法首要指标。本文提出了用雅可比法计算GDOP，然后根据GDOP实现星座选择的新算法，并比较了新算法与传统的四面体体积最大法在定位精度和处理速度两个方面的性能指标。通过仿真表明，新算法既能满足实时性定位要求，又不牺牲精度。
1 GDOP计算公式
　　GDOP的定义式为：
　　
　　其中，H是观测矩阵。卫星导航系统至少要有四颗卫星来进行定位计算,典型情况采用四星定位,此时GDOP还可表示为^[5]：
　　
2 传统星座选择算法
　　按照式(1)计算GDOP，并根据GDOP最小的原则选择星座需要每次进行矩阵的转置、相乘及求逆运算。上世纪70年代，由于当时硬件平台处理速度的限制，需要算法的运算量小，工程应用上采用了被称之为四面体体积最大法的星座选择算法。四面体体积最大法以式(2)为依据简化计算。由式(2)可知，四面体体积与GDOP成反比，随着V的增加，A的变化一般不大。为此，工程实现上用计算四面体体积V的方法代替直接计算GDOP，并以此作为星座选择的依据。
　　由上述分析可以看出，最大四面体体积法实际上是以牺牲定位精度为代价来换取星座选择速度，这种做法在硬件处理器难以满足的情况下，也不失为一种比较好的实现方法。但随着处理器的发展以及人们对精度要求的提高，需要一种能够实时完成的精度更高的算法。
3 新的星座选择算法
　　

　　式（4）将矩阵求逆的复杂运算换为求对称实矩阵的特征值。这样，就可以用对称实矩阵求特征值的雅可比快速算法。
　　雅可比法求对称矩阵特征值的基本思想就是通过平面旋转变换矩阵对实对称矩阵A进行正交变化，使A的非对角线元素趋于0，这样A的对角线的元素趋于A的特征值。
　　用雅可比法求实对称矩阵A的特征值步骤如下：
　　(1)令S=I_n，（I_n为单位矩阵）。
　　(2)在A中选取非对角线元素中绝对值最大者，设为αpa。
　　(3)若|αpa|<ε，则迭代过程结束，此时对角线元素αpa(i=0，1，…n-1)为A的特征值λi。否则，继续下一步。
　　(4)计算平面旋转矩阵的元素及其变换后的矩阵A1的元素。
 　 (5)S=S·R(p，q，θ)，转(2）。
4 算法性能对比分析
　　在n阶对称矩阵中共有(n²-n)/2个非主对角元素要被消去，而每消去一个非主对角元素需要2n个元素进行旋转变换，对一个元素进行旋转变换需要2次乘法和1次加法。因此，一轮计算的时间复杂度为2n²(n-1)次乘法和n²(n-1)次加法。大量实验数据仿真说明，对于4阶对称矩阵采用过关雅可比算法，不超过22轮就可以收敛。图1为采用过关雅可比算法的4阶方阵的收敛轮数图。