摘  要： 为了解决高阶次、多变量、非线性、强耦合的直线二级倒立摆的稳定控制问题，设计了一种参数自校正模糊PI控制器算法。结合线性二次型最优调节器(LQR)方法，设计了融合函数，降低了模糊控制器的维数、减少了控制器规则数、实现了参数在线自校正，进而提高了控制器的性能。借助固高科技倒立摆硬件平台，采用MATLAB仿真及实时控制，系统均能在较短时间内达到稳定，且控制效果较好，满足了稳定性和鲁棒性要求。

　　关键词： 二级倒立摆；参数自校正；模糊控制；融合函数；LQR

　　倒立摆系统广泛地应用在非线性控制理论和研究方面。对于不同的倒立摆类型，控制方法比较多，主要有：双PID及自适应PID控制[1]、LQR及自适应LQR[2]、LQG控制[3]、模糊逻辑控制[5-6]、自适应滑模模糊控制[7]、模糊聚类[8]、神经控制[9]、遗传算法[10]等，这些方法均能有效地控制倒立摆系统。但这些控制算法有其优缺点，同样复杂的控制算法，实时控制效果不是很好，增加了实现的难度。PID控制器能够有效地处理稳定状态响应，但是，要想精确地调整PID控制器的增益是相当困难的；LQR算法在线性系统中能够较好运用，而在非线性较强的系统中也存在一些不足之处；参考文献[5-8]在模糊逻辑控制的基础上采用不同的算法，能够有效地控制非线性系统。模型建立好之后，非线性系统总是线性化在平衡点附近。忽略其他次要部分，这也会导致大的误差；遗传算法控制能够在全局范围内进行优化，具有更高的效率，但是也存在不足之处。其交叉和突变作用，不能够确保个体具有较好的适应度，给目标函数的选取增加了困难。

　　本文在总结模糊控制和LQR算法基础上，设计了一种参数自校正模糊PI控制器。运用LQR方法，设计了融合函数，对模糊控制器进行降阶处理，实现参数在线自校正。通过仿真实验结果显示，这种模糊控制方法能有效控制二级倒立摆系统。

　　1 二级倒立摆物理模型

　　在忽略空气阻力、各种接触摩擦之后，将二级倒立摆系统等效为小车，匀质杆和质量块组成的刚性系统如图1所示，物理参数如表1所示。

　　通过调用MATLAB函数可以判断，二级倒立摆系统是能控能观的。由于开环极点为p1，2，3，4=0、p5，6=±6.2074j，可知系统是不稳定的。要使系统稳定，就需要外加控制器。

　　2 参数自校正模糊PI控制器的设计

　　2.1 融合函数的设计

　　二级倒立摆系统有小车位移和速度、下摆角度和角速度、上摆角度和角速度6个变量，如果将这6个变量作为模糊控制器的输入，每个输入变量在论域范围内取7个模糊子集，则会出现76=117 649条推理规则，这会大大影响模糊控制器的性能。由于线性系统具有可融合的特点，在此将二级倒立摆系统6个变量融合成为综合误差E和综合误差变化量EC，作为模糊控制器的输入，则融合函数设计如下[12]。

　　(1)利用现代控制中的LQR方法，通过仿真试凑法选取使二级倒立摆系统的二次型性能指标J=[XTQX+UTRU]dt为最小值的Q、R(Q、R为适当维数的正定加权矩阵)，从而可以计算得出状态反馈矩阵：

　　2.2 参数自校正模糊PI控制器的设计

　　在基本模糊控制器基础上，设计了参数自校正模糊PI控制器[5-8]。经上述融合函数降维后，根据图2所示的模糊控制二级倒立摆结构图，选择合适的量化因子Ke、Kec和比例因子Ku。E、EC作为模糊控制器1的输入量，U作为输出控制量。输入量和输出量均采用三角型隶属度函数进行模糊化，每个语言变量的论域为{-6，6}，语言值设为{PB，PM，PS，ZE，NS，NM，NB}，分别表示{正大，正中，正小，零，负小，负中，负大}，以重心法解模糊化[13]。模糊控制器1控制规则表如表2所示。

　　为了对模糊控制器1的参数Ke、Kec、Ku进行自校正，引入模糊控制器2，其调整方法为：当系统的误差E和误差的变化EC较大时，应加快系统响应速度，此时需要降低量化因子Ke和Kec来降低E和EC输入量的分辨率，同时加大比例因子Ku，使响应加快；当E和EC较小时，说明系统已经趋于稳定，此时要求提高系统精度，要增大量化因子Ke和Kec来提高对输入变化的分辨率，同时减小比例因子，以减小超调量。此处Ke、Kec增加的倍数与比例因子Ku的减小倍数相同。

　　选择输入量和输出量均为三角型隶属度函数进行模糊化，取Ke、Kec的论域为{-6，6}，在论域范围内把E、EC划分为{NB，NS，NM，ZE，PS，PM，PB}7个模糊子集，取定义Ku的论域为{0.125，0.25，0.5，1，2，4，8}，模糊子集定义为{AH，AM，AL，KO，CL，CM，CH}，分别表示{高放，中放，低放，不变，低缩，中缩，高缩}，以重心法解模糊化。模糊控制器2控制规则表如表3所示。

　　其中，参数调整方法为：(1)以原始的Ke、Kec对E、EC进行量化得到E′、EC′；(2)将E′、EC′作为模糊控制器2的输入量，输出控制量为调整倍数M

　　对整定得出的控制量u与系统输入量作差，作为PI控制器的输入，再将PI控制器的输出作为二级倒立摆状态模型的输入，即可以对二级倒立摆系统进行仿真研究。

　　3 仿真结果分析

　　在Simulink环境中建立的二级倒立摆的参数自校正模糊PI和模糊控制器的仿真结构图如图3所示。

　　根据式(1)，取Q=diag(1000，500，500，0，0，0)，R=1，采用LQR方法得到状态反馈矩阵K为：

　　K=[31.622 8  113.123 5  -227.437 8

　　28.301 8  1.071 5  -38.755 3]

　　代入式(3)，得融合函数为：

　　取系统的初始值为零，设置仿真时间为5 s，仿真步长为5 ms，通过多次调整参数，得到两种控制器仿真曲线图如图4所示。由图4可知，小车最终距离初始位置10 cm左右处保持平衡，下摆摆角偏离平衡位置最大值为0.05 rad，上摆摆角偏离平衡位置最大值为0.003 rad，系统能在2.5 s左右时间内达到并维持平衡，由此可见控制效果比较理想。比较两者的仿真结果可知，基于融合函数的参数自校正模糊PI控制器不仅能使小车维持平衡，而且系统的响应速度也较快，可以用来对二级倒立摆实物系统实时控制。

　　在基本模糊控制器结构上，设计了一种参数自校正模糊PI控制器，通过融合函数对模糊控制器的输入进行降维，避免了控制规则过多而影响控制性能的缺点，同时又对模糊控制器的量化因子和比例因子进行在线校正调整，达到了自校正目的。为了测试倒立摆系统鲁棒性，选用了外部测试方法(即施加外力与系统)，系统能够很快校正偏差，回到平衡位置。仿真结果和图5实时控制曲线表明，这种控制器能有效地控制二级倒立摆系统，具有良好的稳态性能，响应速度较快，鲁棒性较好。

　　参考文献

　　[1] GEORGE J，KRISHNA B，GEORGE V I，et al.Design of adaptive pid controller based on maximum modulus theoremfor inverted pendutum on a cart[J].Sensors & Transducers，2012，145(10)：163-171.

　　[2] Zhang Jiaolong，Zhang Wei.LQR self-adjusting based controlfor the planar double inverted pendulum[J].Physics Procedia，2012(24)：1669-1676.

　　[3] EIDE R，EGELID P M，STAMSO A，et al.LQG control for balancing an inverted pendulum mobile robot[J].Intelligent Control and Automation，2011，2(2)：160-166.

　　[4] Yi Jianqiang，YUBAZAKI N，HIROTA K.A new fuzzy controller for stabilization of parallel-type double inverted pendulum system[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，126(1)：105-119.

　　[5] KIZIR S，BINGUL Z，OYSU C.Fuzzy control of a real timeinverted pendulum system[J].Journal of Intelligent & Fuzzy Systems，2010(21)：123-133.

　　[6] Huang Chenghao，Wang Wenjuan，Chiu Chihhui.Design andimplementation of fuzzy control on a two-wheel inverted pendulum[J].IEEE Transaction on Industrial Electronics，2011，58(7)：2988-3001.

　　[7] Duan Xuechao，Qiu Yuanying，Duan Baoyan.Adaptive slidingmode fuzzy control of planar inverted pendulum[J].Control and Decision，2007，22(7)：774-777.

　　[8] SIVARAMAN E，ARULSELVI S.Modeling of an inverted pendulum based on fuzzy clustering techniques[J].Expert Systems with Applications，2011，38(11)：13942-13949.

　　[9] HASSANZADEH I，MOBAYEN S.PSO-based controller design for rotary inverted pendulum system[J].Journal of Applied Science，2008，8(16)：2907-2912.

　　[10] Ping Zhaowu，Huang Jie.Approximate output of spherical inverted pendulum by neural network control[J].Neurocomputing，2012，85(5)：38-44.

　　[11] 宋君烈，肖军，徐心和.倒立摆系统的Lagrange方程建模与模糊控制[J].东北大学学报(自然科学版)，2002，23(4)：333-337.

　　[12] 邢景虎，陈其工，江明.二级倒立摆基于融合函数的模糊控制[J].合肥工业大学学报(自然科学版)，2011，34(8)：1155-1158.

　　[13] 蔡自兴.智能控制(第二版)[M].北京：电子工业出版社，2004.