摘  要： 采用基于信号处理领域最近兴起的压缩感知理论对NC-OFDM系统进行信道估计，并将回溯迭代自适应正交匹配追踪算法（BAOMP）应用到NC-OFDM系统的信道估计中，该算法在每次回溯迭代中核查所选原子的可靠性并删除不可靠原子。理论分析和仿真实验表明，BAOMP算法不但可以减少导频的数目，而且其在保持OMP类算法优点的同时，有着更好的重构性能，且不需要预先知道稀疏度K。

　　关键词： 信道估计；压缩感知；NC-OFDM；BAOMP

　　无线通信中的传播路径非常复杂，信号通常会有阴影衰落、频率选择性衰落，而且会产生幅度、相位失真等。为了能从接收信号中准确地恢复发送信号，就需要知道信道准确的状态信息，因此进行信道估计非常有必要。

　　目前最常用的信道估计方法是基于导频的信道估计，它通过估计混合在发送数据中的导频数据的信道响应，然后利用一些插值算法估计出数据的信道响应。这种估计算法已相当成熟，如最小二乘算法（LS）、线性最小均方误差算法（LMMSE）[1]等。本文在基于导频的信道估计方法中利用压缩感知技术对NC-OFDM系统[2]进行信道估计。

　　压缩感知（CS）是一种全新的信息采集、编码及解码理论[3]，其核心思想是当信号具有稀疏性时，将信号的采集、压缩合并，采集少量的信号投影，然后通过一系列的解码及信号重构算法实现信号的近似重构，从而降低信号采样频率和数据传输代价。目前基于贪婪迭代的匹配追踪算法有MP[4]、OMP[5]、StOMP[6]等，由于这些算法运算量较小且容易实现，因此应用较多。

　　1 NC-OFDM系统及其信道估计

　　NC-OFDM是基于认知的OFDM，它与OFDM最大的不同是通过动态的频谱感知模块实时检测周围的频谱环境，动态地调整子载波的分配，利用空闲频谱进行高速的数据传输。本文假设信道为频率选择性慢衰落信道，其离散时间模型可描述为：

　　其中，hk和?子k分别为第k条路径的幅度和时延，L为信道的多径数。系统采用N点FFT，则接收端的N×1接收信号Y为：

　　Y=XH+n=XWh+n(2)

　　其中，N×N矩阵X为用户数据组成的对角阵，h=[h1，h2，…，hL-1]T为信道冲击响应向量，N×1向量H为h的N点DFT，N×1向量n为加性高斯白噪声，自相关矩阵为In。

　　P×N选择矩阵S由N×N单位阵与导频信号所在位置相对应的P行构成，它用来从N个子载波中选出P个导频信号所在的位置。则在接收端收到的导频位置上的信号为：

　　Yp=Xp Hp+np=XpWp h+np(3)

　　其中，P×1向量Yp=SY；P×P矩阵Xp=SXS′为发送端的导频信号；P×1向量Hp=[H(n0)，H(n1)，…，H(nk)，…，H(np-1)]T为导频位置上的信道衰落系数；P×1矩阵Wp=SW；np=Sn为导频所在位置噪声。对于接收端，Yp、Xp、Wp均为已知信号，因此接收端通过一定的算法能得到向量h，信道频域响应可由式(4)得出：

　　H=Wh(4)

　　导频位置上信道估计方法中的最小二乘算法以观测值与估计值之间加权误差最小为原则，利用LS估计导频所在位置的信道频域响应为：

　　再以P，LS为基础，采用线性内插的方式获得所有子载波上信道频域响应LS。

　　2 压缩感知理论

　　已知某个信号是稀疏的或可在某个稀疏基下稀疏表示，便可进行压缩感知。假设一个待压缩有限长信号x∈CN×1，即x是复数空间C的N×1维列向量，可用N×1维基向量{的线性组合表示，N×N维矩阵的列向量由得到。x可表示为：

　　其中，h=[h1，h2，…，hN]T为N×1维系数列向量，x和h可看作在不同域上的投影。若h仅有k×N个非零系数，其他都是近似为零的小数值，则称x是k-稀疏的，?追称为x的稀疏域。已证明大部分信号都可以在某些变换域上投影为稀疏信号，从而为压缩感知提供了前提。

　　根据压缩感知理论，可将稀疏信号x投影到一组基上，得到M个投影值y，根据这M个投影值y就可以以极大概率恢复出信号x，此时y可表示为；

　　其中，准为与追不相关的M×N维观测矩阵，Z=?准?追为M×N维传感矩阵。接收端利用y的M个元素重建信号x，即从式(7)中求出x向量的N个元素。由于式(7)中未知数数目多于方程组数目，因此x的解不是唯一的。当矩阵Z满足受限等距条件（RIP）时，方程存在确定解，即对任意?啄∈(0，1)，使Z对所有k稀疏信号x均满足：

　　在最小l1范数下的最优化问题成为基追踪算法(BP)[7]。

　　3 基于压缩感知的NC-OFDM系统的稀疏度自适应估计算法

　　传统的信道估计方法要求采样值的个数满足抽样定理，才能根据式(3)中的采样向量Yp和导频符号Xp求解出信号在导频位置上的频域响应Hp，之后再进行均衡等步骤完成信道估计。而在压缩感知中，当采样向量Yp包含的元素个数小于导频符号Xp的个数时，依然能够利用一定的重构算法恢复出Hp。因此，在基于压缩感知的信道估计中，可利用少量的导频实现信道估计，使得节省下来的子载波用来传递数据信息，提高系统吞吐量。

　　在压缩感知的重构算法中，传统的贪婪迭代算法都不是自适应的，需要预先估计稀疏信号的稀疏度K，而且信号的重建精度也不能让人满意。现实中，稀疏信号的稀疏度一般是未知的，为了提高重建精度，使算法具有自适应性，参考文献[8]提出了BAOMP算法，该算法作为OMP算法的延伸，采用了回溯迭代方法，通过在每一迭代步骤中自适应地从冗余字典中增加或删除原子，以实现信号的重构。

　　BAOMP算法首先自适应地选取一些原子，然后在接下来的处理中为了更准确地确定支撑集，使用回溯策略移除某些选择错误的原子，具体步骤如下：

　　输入：M×N阶观测矩阵?准，抽样观测向量y，预置的[0，1]间增加原子的阈值?滋1，预置[0，1]间删除原子的阈值?滋2，停止迭代的相关系数?着，所允许的最大迭代次数nmax。

　　在该算法中，∧是当前迭代的支撑集,?准∧由支撑集∧包含的列所对应的观测矩阵?准的列向量组成。与大多数OMP类型的算法一样，该算法的第一步是选择候选集Cn，约束条件|Cn|≤M-|∧|用于保证的逆矩阵存在。在第二步中，常数?滋2用于自适应控制每次迭代删除的原子数，这种贪婪算法的目的是寻找信号的k阶系数表示，其近似系数最大，从而可以减小误差。BAOMP算法使用上述回溯方法移除近似系数相对较小的原子，由于k并非是输入参数，因此BAOMP算法的结束条件是||rn||2<?着或者迭代次数超过最大限值。

　　BAOMP算法通过回溯的方法修正支撑集，但它不像SP和CoSaMP算法每次增添或删除固定数目的原子，而是通过当前信号的特征自适应地选择增添或删除一些原子。即如果k较小，则较少数目的原子被增添或删除；如果k较大，则较多数目的原子被增添或删除。而且BAOMP算法在选择了大多数的正确原子之后，选择的原子数目会逐渐变少，会加速收敛，因此BAOMP算法会在算法复杂度和重构精度之间达到很好的平衡。回溯追踪使BAOMP算法两次核查所选原子的可靠性，第一次核查是在考虑到观测向量与残差的相关性时，第二次是在观察支撑集∧的近似系数时，回溯调整会带来更好的稀疏度重构性能。

　　4 仿真与性能分析

　　在NC-OFDM系统中，使用MATLAB进行仿真分析，参数如下：可用子载波数为500，授权用户占用子载波数为100，每一次传输信号时可用子载波位置随机。采用梳状导频图案，导频图案在可用子载波间均匀放置。

　　在本实验中，分别利用OMP、ROMP、StOMP和BAOMP算法对信号进行重构估计。原始信号是长度N=256的高斯或者二进制稀疏信号，假设采样点M=128。针对每一个稀疏度K,每个算法都进行500次独立重构实验，并统计出其中成功重构的次数，将成功重构的次数除以实验总次数便可得到成功重构的概率。当原始信号和重构信号的最大数量级差小于10-3时，则认为重构信号是准确的，即xi-x<10-3。

　　稀疏度K不同的情况下信号的准确重构率如图1所示。从图1(a)可以看到，对于高斯稀疏信号，BAOMP算法要优于其他三种算法，其他三种算法的重构率当稀疏度K≥40时开始衰落，然而BAOMP在稀疏度K≤50之前几乎仍然保持100%的重构率。此外，当原始信号不够稀疏时，BAOMP算法仍然有较高的重构率，例如当K=65时，其他算法的重构率几乎为0，而BAOMP的准确重构率依然超过0.6。图1(b)展示了二进制信号的情况，可见BAOMP的重构性能依然是最好的。

　　图2是在稀疏度K=30的情况下，当采样点M不同时，对信号的准确重构率的影响。实验步骤类似，仿真结果表明BAOMP有着最好的重构性能。

　　本文将压缩感知技术应用到NC-OFDM系统的信道估计中并分析了自适应重构算法BAOMP。与压缩感知中的OMP类型算法相比，BAOMP算法可以移除先前选择错误的原子，可以比其他OMP类型的算法提供更好的重构性能。实验表明，BAOMP算法在计算复杂度和重构性能方面可以达到很好的平衡，而且在某些应用中，当稀疏度K未知或者某些贪婪算法预估的K值不能达到预期时，应用BAOMP可以达到很好的重构效果。

　　参考文献

　　[1] KANG S G，HA Y M，JOO E K.A comparative investiga-tion on channel estimation algorithms for OFDM in mobile communications[J].IEEE Transactions on Broadcast，2003，49(2)：142-149.

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　　[3] DONOHO D L，TSAIG Y.Extensions of compressed sensing[J].Signal Processing，2006，86(3)：533-548.

　　[4] MALLAT S，ZHANG Z.Matching pursuits with time-frequ-ency dictionaries[J].IEEE Transactions. on Signal Process-ing，1993，41(12)：3397-3415.

　　[5] PATI Y C，REZAIIFAR R，KRISHNAPRASAD P S.Orthog-onal matching pursuit：recursive function approximation  withapplication to wavelet decomposition[C].27th Annual Conf. on Signal and Computers，1993：40-44.

　　[6] DONOHO D L，TSAIG Y，DRORI I，et al.Sparse solution of underdetermined systems of linear equations by stagewiseorthogonal matching pursuit(StOMP)[J].IEEE Transactions on Information Theory，2012，58(2)：1094-1121.

　　[7] TAUBOCK G，HLAWATSCH F.A compressed sensing tech-nique for ofdm channel estimation in mobile environments: exploiting channel sparsity for reducing pilots[C].IEEE ICASSP，2008：2885-2888.

　　[8] Huang Honglin，MAKUR A.Backtracking-based matching pursuit method for sparse signal reconstruction[C].IEEE Transactions on Signal Processing Letters，2011，18(7)：391-394.