0 引言

    SFM(Sinusoidal Frequency Modulation)信号是一种典型的非平稳信号，具有频率时变、低截获概率等性质，在雷达、声纳、生物医学及地震信号处理等领域得到广泛应用^[1]。传统的傅里叶变换是信号分析与处理的重要技术手段，但不能反映非平稳信号频率的时变本质，而时频分析^[2-3]注重信号时变谱特征，描述信号随时间和频率的能量分布。因此，研究SFM信号的时频分析方法具有重要的意义。

    近年来，时频分析方法在非平稳信号处理领域中引起广泛关注和研究，主要应用于雷达目标探测、语音信号和图像处理、生物信号诊断等领域。Wigner-Ville分布(WVD)是分析非平稳时变信号的重要工具之一，是一种基本Cohen类双线性时频分布，具有很好的时频聚集性^[4]，但对于非线性调频信号会产生交叉项干扰。伪Wigner-Ville分布(PWVD)能够抑制交叉项干扰，但降低了时频分辨率，且改变了边缘性质^[5]。1993年，MALLAT和ZHANG^[6]首次提出在过完备字典中对信号进行稀疏分解的思想，并引入了匹配追踪(Matching Pursuit，MP)算法。目前，稀疏分解被广泛应用到信号处理的许多方面，如编码、去噪、微弱信号提取等，但在时频分析中的研究甚少。文献[7]利用Gabor原子对语音信号进行分解，很好地利用了Gabor原子来表示信号的内在结构；文献[8]将MP分解方法应用在雷达目标识别中，该方法虽然提高了原子的搜索效率，但本质上没有降低信号分解的计算复杂度，难以实现信号实时处理。

    为解决SFM信号WVD存在的时频交叉项干扰问题，本文提出一种基于稀疏分解的时频分析方法。该方法首先在Gabor原子字典中对信号进行MP分解，然后将分解得到的Gabor原子通过Wigner-Ville变换叠加得到信号WVD。仿真结果表明，本文方法能提高对信号分解的计算效率，不仅能抑制交叉项干扰，还能保持高时频分辨率，是一种有效的时频分析方法。

1 SFM信号模型及时频特性分析

1.1 SFM信号模型

    SFM信号的频率特性曲线是关于时间的正弦函数，其数学模型为：

式中，A为SFM信号的幅度，f_c为载频，f_m为调制频率，m_f为调制指数。由于瞬时频率是瞬时相位关于时间的导数，则：

1.2 时频特性分析

    信号s(t)的Wigner-Ville变换定义为：

    由式(4)可知，当信号相位关于时间的二阶以上导数为零时，如线性调频信号WVD不含交叉项，表现出最佳时频聚集性；当信号相位关于时间的二阶以上导数不为零时，由于其高次项的作用，信号WVD会产生自身交叉项。为了解决SFM信号的交叉干扰问题，本文将利用Gabor原子的时频特性，联合稀疏分解和WVD的方法对SFM信号进行分析。

2 基于稀疏分解的时频分析方法

2.1 Gabor原子字典的构建及离散化

    Gabor原子的数学表示式为：

    对于由Gabor原子所构成的字典，首先将g_γ作归一化处理，即||g_γ||=1，然后根据Mallat索引算法对信号的时频参数进行离散化。

    由图1可知，随着j的递增位移参数的扫描间隔不断变得稀疏，而频率参数的扫描间隔不断变得密集。在迭代过程中，先根据j值确定时频参数的取值范围和步距，再依次扫描时频参数来选取最相关的原子参数。

2.2 联合MP分解和WVD的时频分析

    假设D为N维Hilbert空间H中的Gabor原子字典，g_γ为由参数组γ定义的Gabor原子。考察逼近任意信号f，信号长度为N，则信号可被分解为：

其中α为优化因子，0<α≤1。为了寻找与分解的残余最为匹配的原子，取α=1。

    当残余能量低于一定阈值或者满足一定的迭代次数时，该迭代过程结束。由式(7)可得，用少量Gabor原子即可表示信号的主要成分，即：

式(10)和M<<N集中体现信号稀疏表示的思想，它代表信号稀疏分解的结果。

    对每次迭代过程中分解得到的Gabor原子进行Wigner-Ville变换，由式(12)得到信号WVD：

3 利用改进遗传算法寻找最佳匹配原子

    基于MP的稀疏分解算法存在的关键问题是计算量大。本文采用分层思想对传统遗传算法(GA)寻找最佳匹配原子进行改进。利用过完备原子库“波形相同”的等价关系[9]，对字典D按式(13)进行划分：

    将定义一个原子的参数组作为待寻优参数，残余与最佳匹配原子内积的绝对值作为适应度函数。当每个子库运行到一定代数时，将N个子库结果和平均适应度分别记录到数组R[i，j](i=1，…，N；j=1，…，n)和A[i]中，进行选择、交叉和变异操作，淘汰适应度值低的原子，然后更新R[i，j]和A[i]，并开始新的分解迭代过程。利用改进遗传算法寻找最佳匹配原子如图2所示。

4 仿真及性能分析

    仿真实验中，采用SFM信号，信号长度为N=140，s(t)=exp[j0.5πt+j20sin(0.02πt)]。为便于信号分析和处理，对采样频率进行归一化处理。由文献[7]可知，当信号长度为140时，字典中含有59 129个Gabor原子，满足原子字典的过完备性。

    图3、图4分别为SFM信号的WVD和PWVD。由图可知，SFM信号WVD存在严重的交叉项，与理论分析相符；其PWVD虽抑制了交叉项，具有较好的聚集性，但降低了时频分辨率，改变了边缘性质。

4.1 实验一：正弦调频信号的稀疏分解

    对SFM信号在Gabor原子字典中做稀疏分解，迭代次数为200。图5表示Gabor原子示意图，Gabor原子的能量较为集中，这种集中的特性是由信号时频参数构成的Gabor原子是一个高斯窗函数，具有代表性。

    图6和图7分别表示SFM信号在200次迭代过程中分解系数的变化及逼近误差。随着迭代次数的增加，分解系数幅值不断减小，表明在分解的过程中残余能量越来越小（经过200次分解后逼近误差值小于0.05），重构信号越来越逼近原SFM信号。

4.2 实验二：时频特性分析

    通过改变迭代次数来比较由不同原子数构建信号的WVD。图8、图9分别表示为由30、50个Gabor原子构建信号的WVD，颜色表示信号能量分布。由图可知，Gabor原子在时频图上表现为时频块，具有最佳的时频聚集性，信号WVD是由一系列Gabor原子组合得到。仿真结果表明，本文方法有效抑制了SFM信号WVD的交叉项干扰，并保持高的时频分辨率。

    经过多组测试，不同Gabor原子数构建信号WVD的效果不同，说明信号的稀疏表示存在多种形式；同时在本文给出的参数条件下，采用35个Gabor原子构成信号的WVD效果最好。

4.3 实验三：稀疏分解性能分析

    设种群进化代数为35，染色体个数为21。从算法复杂度角度来看，稀疏分解计算复杂度取决于残余与最佳匹配原子的内积运算量。假设基于MP分解计算速度为1，3种不同分解方法的相对计算速度及均方根误差比较如表1所示，以重构信号与原信号之间的均方根误差(RMSE)作为衡量重构信号质量的标准。

    由表1可知，3种方法得到的RMSE均小于-19 dB，说明35个Gabor原子可很好地重构原信号相对基于MP分解和GA的MP分解方法而言，本文方法在保证重构信号质量的情况下，提高了稀疏分解的计算效率。

5 结束语

    从稀疏分解的角度出发，本文提出一种联合稀疏分解和Wigner-Ville分布的时频分析方法。在传统时频分析方法的基础上，本文利用Gabor原子的时频特性，将信号WVD用一系列最佳匹配Gabor原子的WVD叠加得到。相对于信号的时频分布，稀疏分解得到的是与信号最为匹配原子的参数信息，灵活地选取Gabor原子，可以更为稀疏地表示信号，有效地揭示了非平稳信号的时频结构，其不但是稀疏的，而且可以方便应用于进一步的信息处理。

参考文献

[1] 李英祥．低截获概率信号非平稳处理技术研究[D]．成都：电子科技大学，2003.

[2] 邹红星，周小波，李衍达.时频分析：回溯与前瞻[J].电子学报，2000，28(9)：78-84.

[3] COHEN L.Time-frequency analysis[J].Upper Saddle River，NJ：Prentice-hall，1995，181(2)：335-337.

[4] QIAN S，CHEN D.Joint time-frequency analysis[J].IEEE Signal Processing Magazine，1999，16(2)：52-67.

[5] 葛哲学，陈仲生.Matlab时频分析技术及其应用[M].北京：人民邮电出版社，2006.

[6] MALLAT S G，ZHANG Z.Matching pursuits with time-frequency dictionaries[J].IEEE Transactions on Signal Processing，1993，41(12)：3397-3415.

[7] LOBO A P，LOIZOU P C.Voiced unvoiced speech discri-mination in noise using gabor atomic decomposition[C].IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing，2003，1：820-823.

[8] 段沛沛，李辉.快速稀疏分解在雷达目标识别中的应用[J].电子技术应用，2015，41(7)：64-67.

[9] 邵君，尹忠科，王建英.信号稀疏分解中过完备原子库的集合划分[J].铁道学报，2006，28(1)：68-71.