马亚男，戴尔晗，陈诚

　　（南京邮电大学自动化学院，江苏 南京 210023）

　　摘要：电力系统的频率测量在工业和生活中有很重要的作用，提高频率的测量精度至关重要。生活中常见的信号都带有很多噪声，测量时因为噪声影响结果往往存在很大的误差，所以测量频率的关键就是减少噪声带来的误差影响。采用自相关法可以有效地去噪声，再通过改进的三点法进一步测量信号频率，可大大提高信号测量的精度。

　　关键词：频率测量；去噪声；自相关法；三点法

0引言

　　电力系统信号频率的检测，从噪声角度看，有两种：添加噪声和滤除噪声。添加噪声的具体方法是采用非线性系统的随机共振理论，它的优点是计算量小，检测信号频率的速度快，但是仅限于对信号进行定性分析。而滤除噪声的方法有很多种，其中非常有效的就是采用自相关法滤除噪声，该方法可在信号频率未知的情况下滤除高次谐波噪声，突出基波频率成分，能够有效提高测量精度，减少噪声带来的影响。

　　近年来，三点法在频率检测中得到广泛应用，它的主要优势是原理简单，计算量小，频率跟踪性强且不受采样频率的影响，在同步采样和非同步采样中都可以运用三点法来检测信号频率。将三点法与自相关法结合来检测信号频率是本文所述主要算法，本文通过MATLAB仿真证明了该算法的可行性。

1自相关法理论

　　自相关函数对于检测周期信号有很好的适用性，日常运用中可以用自相关函数来检测含有噪声的信号基波频率。利用自相关函数可以突出基波频率成分，滤除高谐波噪声。下面说明自相关理论在频率检测中的应用原理。

　　设信号序列s(n)为周期信号，周期为N，则其自相关函数［1］定义为：

　　若s(n)=sin(ωn)，周期为N，ω=2π/n，则s(n)的自相关函数为：

　　由式(2)可以看出Rs（m）也是周期信号，且与s(n)的周期一致，故Rs（m）的周期也为N。而Rs（m）与s(n)的初相位无关，故自相关函数与采样时刻无关。

　　上述为自相关理论原理，以下将其具体应用到待测的信号中。

　　设周期信号S(t)为交流正弦信号［2］且没有直流分量，则信号只由基波和高次谐波两部分组成，假设最高次谐波为L次，根据采样定理对S(t)进行采样，s(n)为采样信号，公式如下：

　　式中Φl是信号的初相位。

　　设s(n)一个基本周期内的采样点数为N，则s(n)的自相关函数为：

　　从式(3)可以看出Rx(m)的谐波分量与s(n)的谐波分量相同，但振幅会发生变化，除去1/2系数的影响，Al=1时，Al2=1，故振幅不变；当Al>1时，幅度指数成指数增长；Al<1时，幅度指数呈指数减少。所以，信号自相关后，幅度最大的频率成分会突显出来，衰减了幅度较小的频率成分。而在电力信号中，基波［3］的成分最大，所以信号自相关后更加突出了信号的基波成分，可大大提高测量的精度。

　　下面介绍下含有噪声的信号的自相关函数：

　　假设S(n)=s(n)+f(n)，其中S(n)表示实际的周期信号，s(n)表示理想的周期信号，f(n)表示随机的噪声。设理想周期信号s(n)的周期等于N，长度是M，且M>>N,则S(n)的自相关函数由下式所示：

　　实际情况下在信号中检测到的噪声都是随机［4］的。从理论上说式（5）两项的值都应该是零，而在实际上这两项的值也是很小的值，式（5）中的Rf(m)是随机噪声的自相关函数，它主要集中在m=0的位置，故自相关函数除了m=0点外其他成分主要是Rs(m)。以上说明了夹杂噪声的信号通过自相关后，只有在m=0的时候才会有噪声的频率成分，其他情况下信号自相关函数就是理想信号的自相关函数，故信号自相关函数的基波频率就是理想信号的自相关函数的基波频率。由式（1）可得，信号自相关函数的基波频率就是s(n)的基波频率。由此可以看出信号自相关后，有效滤除了基波频率夹杂的噪声给测量带来的影响，提高了测量精度。

2三点法检测频率

　　三点法检测频率［5］的推导过程如下。

　　若待测电压信号为：

　　s（t）=Usin(ωt-φ)

　　其中ω=2πf，f为信号的待测频率。采样频率为fs，从而对s(t)进行采样并将s(t)改写为s(t)=Usinα，那么，α=ωt-φ。

　　在由采样频率fs采样得到的采样序列中，等时间间隔地选取了3个采样点ui、ui-m、ui-2m。为了区分这3个采样点和其他采样点，把ui、ui-m、ui-2m称之为检测点。由此可得m/fs即为检测点之间的时间间隔［6］。若η=ωm/f=2πmf/fs，则有f=ηfs/(2πm)。

　　ui、ui-m、ui-2m可转换为ui=Usinα，ui-m=Usin(α-η)，ui-2m=Usin(α-2η)。根据三角变换：

　　ui+ui-2m=U［sinα+sin（α-2η）］=2Usin(α-η)cosη=2ui-mcosη

　　所以有：

　　η=arccos((ui+ui-2m)/2ui-m)fs(2πm)(6)

　　由式(6)可知其中ui-m不可以是0，否则式(6)没有意义。

　　对于检测正弦信号基波［7］频率来说，三点法具有较高的快速性和精确度，但是信号中的谐波分量会使算法大大降低精确度［8］。因此，在测量信号的频率之前，应当利用自相关法过零掉谐波分量，提取出信号的基波频率成分。图1算法程序框图

3算法程序及仿真

　　程序框图如图1所示。

　　设待测信号为：

　　其中ω=2πf，N（t）为信号中夹杂的随机白噪声。下面以80 Hz的频率为例，设采样频率为3 200 Hz，进行仿真,结果如图2、图3所示。　

　　由图2和图3的对比可以看出，信号自相关后除了0点处含有高次谐波外，其他都过滤掉了高次谐波，提取出了基波分量。且已知自相关函数的周期［9］与待测信号的基波周期一致，故可以用三点法直接运用到自相关函数中，有效测量信号的基波频率。设m=5,10,15,30，分别计算信号频率。以m=10为例，设t=20，计算频率如下：

　　ui=40sin(wt-π4)，ui-10=40sin(wt-π4-η),ui-20=40sin(wt-π4-2ri),其中ui、ui-m、ui-2m点的值都是已知的，由η=arccos((ui+ui-2m)/2ui-m)fs/(2πm)可得η。由η与信号基波频率f的关系式f=ηfs/(2πm),可求出f。

4结论

　　通常情况下，自相关法可用于测量信号的基波频率。由于信号自相关后的函数与信号基波频率一致，且自相关后的波形更加突出了基波成分，滤除了高次谐波和噪声的影响，使得曲线更加光滑，然后再用三点法求出基波频率。比起直接三点法测量频率，先自相关然后再用三点法测量频率可以提高基波频率的精确度［10］ ，减小误差。这种方法需要较少的硬件电路，信号自相关后减少了测量的计算次数，减少了计算时间，提高了测量速度，有利于实时检测。但是自相关后的信号在0点仍然会夹杂着高次谐波，故采用三点法测量频率时一定要注意0点处的特殊性。

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