谢宇迪，蒋新昕

　　（辽宁师范大学 数学学院 ,辽宁 大连116029）

       摘要：给出一类在非均匀节点情形下带参数的三角B样条基函数，讨论了这类基函数的性质以及在重节点情形时的变化,并利用这类基函数构造了相应的三角B样条曲线，这类曲线具有与二次非均匀B样条曲线相似的性质。在控制顶点不变的情况下，可以通过改变形状参数取值来调节曲线的形状。此外，它还能精确表示圆、椭圆等曲线。

　　关键词：非均匀B样条；基函数；曲线设计

　　中图分类号：TP391文献标识码：ADOI： 10.19358/j.issn.1674-7720.2017.07.014

　　引用格式：谢宇迪，蒋新昕.非均匀节点情形下的一类三角B样条曲线［J］.微型机与应用，2017,36（7）：46-49.

0引言

　　三角样条曲线在计算机辅助几何设计中被广泛地应用［1］，SCHOENBERG I J［2］首次提出三角样条的概念, 韩旭里教授在三角样条函数的研究中，提出并讨论了分段的二次三角多项式曲线、三次三角多项式曲线及带有参数的二次三角多项式曲线［35］的性质和应用 ；文献［6］提出了k(k≥2)阶的带形状参数三角多项式均匀B样条曲线，可以精确表示圆、椭圆等一些曲线；文献［7］提出了带多形状参数的非均匀三角多项式曲线，它是同类型单形状参数曲线的推广。

　　本文给出了另一类基于四点分段的带参数非均匀二次三角B样条曲线，当所有节点等距时，此类曲线即成为文献［8］中的均匀二阶三角B样条曲线，对于给定控制点，利用参数的不同取值可以局部或整体地控制曲线形状，而无须通过改变控制点调整曲线的形状，此外，还给出了该曲线表示椭圆和圆的方法。通过实例表明，所给曲线具有结构简单、使用灵活的优点，为曲线设计提供了一种有效的方法。

1带形状参数二阶三角B样条基函数

　　定义1任给节点u0<u1<...<un+4，Δui=ui+1－ui，称U={u0 ,u1,...un+4}为节点向量，设－1≤λi,μi≤1，则称：

　　为第i个带形状参数μi,λi+1,μi+2,λi+3的非均匀二阶三角B样条基函数。其中

　　性质4：在实际应用中有时需要利用重节点技术，与单形状参数情况类似，当基函数的节点重数k≤4时，这时只要把对应的区间缩小为0，并去掉基函数的相应段即可。例如当ui+3=ui+4时，Δui+3=0，进行如下定义：

　　容易证明重节点时多形状参数的基函数的连续性有如下定理：

　　定理1如果u=uj是基函数bi(u)的k(k=2,3,4;j=i+1,i+2,i+3,i+4)重节点,则基函数的支撑区间从4减少为5-k段，k=2,3时基函数连续，k=4时不连续。

　　图1表示重节点时的基函数，这里的节点u=0为三重节点，可知由于参数的取值不同，多形状参数的二次三角多项式基函数（虚线）呈现不对称，单形状参数的基函数（实线）对称。

2基函数的连续性

　　定理2设节点向量U={u0 ,u1,...un+4}满足u0<u1<...<un+4，则由式（1）定义的基函数bj(u)∈C1(－∞,+∞)。

　　证明：显然bi(u+i)=0，b′i(u+i)=0，bi(u－i+4)=0，b′i(u－i+4)=0，这里仅讨论在u=ui+1处的连续性，在u=ui+2，u=ui+3处可以采用同样的方法处理。

　　所以该定理的结论成立。

　　图2表示均匀节点下的基函数的图像。其中实线表示形状参数λi=μi=1时 ，即单形状参数的情形；虚线表示均匀节点下多形状参数的基函数图像，虚线对应的λi=（0.4,1,1,0.8,0.3,0），i=1,2,3,4,5 ;μi=(0.5,0.8,0.2,0.4,0,0.1),i=0,1,…4。

　　图3表示形状参数λi、μi对非均匀节点的基函数的影响。其中节点向量为U={0,2,5,6,8,12,13,15,20,27}，实线表示单形状参数的基函数图像，虚线表示多形状参数的基函数图像，形状参数的取值与图2相同。由此可见，多参数对基函数的影响使其左右发生变化，故可作局部调控。

3二次三角B样条曲线

　　定义2任给R2或R3中的控制点p0,p1,...pn，节点向量 U=(u0,u1,...,un+4)及形状参数－1<λi,μi≤1，则：

　　称为多形状参数的二次非均匀三角B样条曲线，其中bi(u)由式（1）所定义。 当ui<ui+1（i=2,3,…n）时，曲线r(u)对应于［ui,ui+1］上的一段曲线可以表示为：

　　由基函数的定义可知，式（4）定义的曲线实际上含有4个形状参数μi、λi+1、μi－1、λi，利用这些参数可以达到整体及局部可调，以下分两种情况讨论：

　　（1）当μi=λi=μi－1=λi+1=μ时，即为单参数曲线，αi、βi与形状参数无关，μ增大时，曲线越靠近线段Pi－2Pi－1，μ起整体调控的作用。图4的曲线从上到下μ=1、0.5、0。

　　（2）当λi≠μi－1且μi≠λi+1时，这时αi、βi与形状参数有关，当λi=－1，μi=－1 时曲线段为直线段Pi－3Pi。图5中,曲线2的μ1=－0.5,λ2=0.8,μ3=－1,λ4=0.2,可见曲线右端变而左端不变；曲线3的μ1=1,λ2=－1,μ3=1,λ4=0.5，曲线左端变而右端不变；曲线1参数取μ1=0.5,λ2=λ4=0.8,μ3=－1，可见多参数比单参数更具灵活可调控性。

4椭圆及整圆的表示

　　定理3如果给定4个控制顶点Pi－3(－a,－b)，Pi－2(－a,b)，Pi－1(a,b)，Pi(a,－b)，其中a、b是均不为0的实数，节点等距，且令λi=μi=0，当u∈［ui,ui+1］时，ri(u) 为一段椭圆弧。

　　证明： 根据式（4）

　　ri(u)=βi4(1－costi)Pi－3+［12－αi4(1－sinti)］pi－2+

　　［12－βi4(1－costi)］pi－1+αi4(1－sinti)pi

　　经计算，有

　　这即为椭圆的四分之一参数方程。

　　推论1对于二次三角B样条曲线，如果控制顶点为P0(－a,－b),P1(－a,b),P2(a,－b)，P3(a,－b)，P4(－a,－b)，P5(－a,b)，P6(a,b)，则ri(u) 为一段椭圆。若a=b，则为整圆。图6为椭圆。　

5实例应用

　　开区间和闭曲线的构造是曲线设计中的基本内容，为保证生成开的二次三角B样条曲线，只要令p0=2p1－p2，pn+1=2pn－pn－1 ，可构造插值于p1和pn且在u1和un处分别以p2－p1和pn－pn－1为切向量的开三角B样条曲线。图7表示单形状参数，λi=μi=0,0.5;图8表示多形状参数，实线对应λi=(0.4,0,0,0,－0.5,0,0.8)，i=2,3,...,8，μi=(0.5,0.8,0,2,0.4,0.5,－0.2,0)，i=1,2,...,7。

　　为了生成闭的二次三角B样条曲线，可增设控制点pn+1+j=pj(j=0,1,2)。令节点步长Δun+1+j=Δuj(j=0,1,2,3)，及形状参数λn+1+j=λj，μn+1+j=μj,(j=0,1,2,3)，于是闭曲线的表达式可写成r(u)=∑n+3i=0bi(u)pi,u∈［u3,un+3］。图9表示单形状参数下的闭曲线，λ=μ=0、0.5、1，其中实线为单形状参数λ=μ=0；图10表示多形状参数下的闭曲线，其中实线中的λi,μi与图8一样。

6结论

　　本文给出了在非均匀节点情形下多参数的一类二阶三角B-样条曲线，该曲线是基于四点分段，即曲线每一段只与4个控制点有关。同时它也具有二次B样条曲线的许多重要性质，如连续性、凸包性、几何不变性等。并且通过参数的取值不同可以达到整体或局部形状调控，应用重节点的技巧可以生成以此类基函数构造的开曲线和闭曲线。此外，它还可以表示椭圆及圆等圆锥曲线。

　　参考文献

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