0 引言

    在MIMO网络中，随着发射机与接收机数量的增加，信道中接收机所受到的干扰也会随之增大。如何减少信道中各个用户所受到的干扰是一个重要研究课题。之前的学者已经提出了许多处理信道中干扰的方法，譬如，多天线下的波束成形法^[1]，其中在大多数干扰处理方法中，接收机所受到的干扰都会随着收发对数量的增长急剧增加，而干扰对齐(Interference Alignment，IA)方案的提出可以有效减少信道间干扰，并且越来越被人们所关注。

    当没有足够的信道资源用于消除干扰时，IA方法尝试将每个接收机的所有干扰对齐到小部分资源维度中去，而剩余的资源维度可以用来存放每个接收机的期望消息。IA方法被提出后，就相继被运用到干扰信道^[2](Interference Channel，IC)、X信道^[3](X Channel，XC)等基本网络信道模型中。其中X信道可以看作是干扰信道、广播信道(Broadcast Channel，BC)以及多输入信道(Multiple Access Channel，MAC)的复合信道，因此，研究干扰对齐在MIMO X信道中的可行性意义重大。干扰对齐在M×N X信道中完美实现时^[4]，信道中的自由度(Degree of Freedom，DoF)可以达到上界(MN)/(M+N-1)。

    在传播延迟较大的信道中时，譬如水声信道以及深空信道，干扰对齐方法可以发挥巨大作用，但是对于具有较大传播时延的M×N X信道的具体干扰对齐方案还在继续探索中。其中，2×2 X 信道^[5-6]、K×2 X信道^[7]基于传播延迟的干扰对齐方案已经被证实可以完美实现，且已经得到具体的干扰对齐信道设计方案。但是，当发送端数目K≥3时，还没有文献给出能实现完美干扰对齐的具体信道设计方案，并且K×3 X信道已经被证明，其不存在完美的干扰对齐方案^[8]。 

    为了尽可能达到3×3 X信道的自由度上界9/5，本文在完美干扰对齐自由度中5个时隙的基础上增加一个额外时隙。在多天线信道中，可以使用空间干扰对齐的预编码方案^[9]，在单天线情况下，信道中消息的编解码使用循环多项式的表示方法，首先对发送端发送的每个消息设计合理的编码方案，其次为每对发射机和接收机之间设置合理的传播时延，最终在接收端进行解码后，该3×3 X信道可以达到3/2自由度，比传统的时分多址的方案在时间上可以节省33.3%。进而，分析了本方案中各个发射机以及接收机在欧几里得二维以及三维空间中的可行性范围，并给出了具体示例。

1 系统模型

1.1 3×3 X信道系统模型

    3×3 X信道模型如图1所示，信道中有3个发射机和3个接收机，分别用S_j和D_i表示，i，j∈{1，2，3}，且假设信道中每个节点只有一根天线。使用W_ij表示发送机Sj发送到接收机D_i的唯一期望消息，τ_ij表示发射机S_j到接收机D_i之间的传播延迟，v_j和r_i分别表示发射机Sj发送的和接收机D_i所接收到的消息多项式。

1.2 算法说明

    每个发射机S_j和接收机D_i之间的信道被等分为n个时隙，每个时隙中只能发送一个消息。假设传播延迟是一个时隙的静态和非负整数倍。与传统的正交多址方案类似，消息在n个时隙之后，根据传播延迟的信道特性循环右移。该过程可以通过循环右移多项式建立模型，且周期为n。

    要发送的消息在发射机处设置偏移量为x^s发送，且信道延迟矩阵延迟t个时隙。在一个周期(n个时隙)后，得到的延迟消息由x^s+tW_ijmod(xⁿ-1)表示，此处的s和t即为式(2)和式(3)中的p_ij和τ_ij。

    编码方案：从S_j发送的3个消息W_1j、W_2j、W_3j，通过编码函数的编码函数e_j转换为多项式v_j(x)中，如式(1)所示：

2 添加额外时隙的干扰对齐方案

    已知，3×3 X信道自由度上界为9/5^[2]，理论上可以通过基于无限符号扩展的渐近干扰对齐（IA）来实现，这需要无穷资源来逼近，实际中不可能实现。此外，已经证明，对于K×3 X信道，不能通过传播时延来达到DoF上限^[8]。因此，无法在5个时隙(对于3×3 X信道，n的最小值为5)内正确发送信道中所有9个消息。 

    一方面，本文需要通过3×3 X信道发送所有9个独立消息；另一方面，期望最小的额外延迟成本以获得尽可能大的DoF。因此，除了最小的5个时隙之外，仅添加一个额外的时隙以减少最多的延迟是合理的，即n=6。

    接下来本文提出一种方案来完成在n=6个时隙上发送M=9个消息的基本任务，即自由度为3/2。

    首先，考虑各个消息在发射机处设置的偏移量（偏移量有多种设置方案，此时仅以如下偏移量为例说明），假设各个消息在各个发射机的偏移量后代入式(2)后可得式(8)：

    通过设置每个待发送消息的偏移量，可以得到发送端的消息发送顺序，如图2所示。

    其中，信道中的传输延时矩阵D如式(9)所示：

    已知传播周期(即一个周期所包含的总时隙数)n=6，接收机所接收到的消息多项式如下。

    在接收机D₁处，r₁(x)如式(10)所示：

    由式(10)可以看出，在接收机D₁处，期望消息W₁₁、W₁₂和W₁₃分别在每个循环中的第1、第2以及第6个时隙中被无干扰地接收到。同理，在接收机D₂处，所接收到的多项式如式(11)所示：

    很明显，在接收机D₂处，D₂的期望消息W₂₂、W₂₁和W₂₃分别在每个循环周期的第2、第3和第5个时隙上被无干扰地接收。最后，接收机D₂处所接收到的多项式如式(12)所示：

    由式(12)可以看出，D₃的期望消息W₃₃、W₃₁和W₃₂分别在每个循环周期的第1、第5和第6个时隙里被无干扰地接收到。

    通过本方案，3个接收机均可以在一个周期内(即6个时隙内)接收到各自的期望消息，并对齐绝大多数干扰。每个接收端的消息接收情况如图3所示。

    总的来说，对于3×3 X信道中的9个消息，通过对发送端的消息进行合理的编码设计，以及信道中的传播延迟矩阵的设计，可以在n=6个时隙中实现干扰对齐方案，并且能达到DoF=9/6=3/2。

3 对比分析

    本文运用MATLAB软件对3×3 X信道添加额外时隙的干扰对齐方案下，每个时隙内成功接收的总有效消息数进行分析，并与3×3 X信道在时分多址方案下的每个时隙成功接收的总有效消息数进行对比。

    本文提出的外加额外时隙的干扰对齐方案中，每个传输周期内，需要占用6个时隙即可以成功传输9个期望消息，信道可达自由度为3/2；在时分多址情况下，每个传输周期需要占用9个时隙才能成功传输这9个期望消息，信道可达自由度为1。即采用本文方案，每个周期可以节省3个时隙数。

    下面是针对两种方案，接收端所能接收的有效消息总数的对比，如图4所示。当发送9n个消息时，干扰对齐方案需要6n个时隙，时分多址方案需要9n个时隙，比本文所提出的方案多花费3n个时隙数。由此可以看出，对于3×3 X信道，使用增加额外一个时隙的干扰对齐方案时，比传统的时分多址方案使用的时间减少33.3%。通过比较发现，添加一个额外时隙的干扰对齐方案能大大提高网络中的消息传输效率。

4 欧几里得空间中的可行性分析

    在本节中，讨论所提出的方案在欧几里得二维或三维空间中的可行性。为简单起见，假设传播速度v在所有链路中是恒定的，这意味各对收发机之间的传播延迟量也代表其距离关系。

    S_j和D_i之间的距离可以用d_ij=v(τ_ij+τ₀)表示，其中τ₀是传播延迟的参考原点。用a表示为D₁和D₂之间的距离，b表示D₁和D₃之间的距离，c表示D₂和D₃之间的距离。在本文模型中，Δτ（传播延迟）增加表示此对收发机之间相应的距离增加，步长为Δd=vΔτ。用O_i(S_j)表示以D_i为中心的圆/球，其圆周上带有S_j。

式中，d₀可以根据实际情况设置成不同的值，可以将此可行性条件应用于不同场景，图5即为该3×3 X信道中，3个发射机和3个接收机在二维欧氏空间上的一种可行性位置排布。

    下面给出一个参考示例。例：假设d₀=1 000，由式(20)可以得知：0≤Δd≤1 000，分别考虑Δd取最小值、中间值和最大值时的可行性范围。

    通过上述例子可以发现，通过增加一个额外时隙进而实现干扰对齐这一方案在欧氏空间中是可行的，并且可以通过不同的场景设置不同的d₀和Δd来得出节点排布的位置范围，即a、b、c的取值范围。

5 结论

    本文研究了3×3 X信道时域上外加一个额外时隙的干扰对齐方案的可行性，基于信道传播延迟，在信道发送端和接收端使用循环多项式的编解码方案，在接收端解码之后，可以成功传送全部期望消息，信道自由度可以达到3/2。把该方案与时分多址的方法进行对比可以发现，该方案在每个传输周期内可以节约1/3的时间。同时分析了此方案在欧几里得二维和三维空间中的可行性范围，证明了该方案的可行性。

参考文献

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[4] CADAMBE V R，JAFAR S A.Interference alignment and the degrees of freedom of wireless X networks[J].IEEE Transactions on Information Theory，2009，55(9)：3893-3908.

[5] MAIER H，SCHMITZ J，MATHAR R.Cyclic interference alignment by propagation delay[C].2012 50th Annual Allerton Conference on Communication, Control，and Computing(Allerton)，Monticello, IL，2012：1761-1768.

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[9] 周雯，邓单.信道均值反馈下多天线干扰信道中的预编码[J].电子技术应用，2018，44(11)：81-85.

作者信息:

刘  锋，王淑萍，姜胜明

(上海海事大学 信息工程学院，上海201306)