一种多分辨率方向滤波器组及其设计方法
2008-07-10
作者：苏金善1，冯 燕2
摘 要： 回顾了多分辨率多方向性图像表示，分析了其存在的问题，介绍了新型方向滤波器组" title="滤波器组">滤波器组即均匀方向滤波器组" title="方向滤波器组">方向滤波器组和非均匀方向滤波器组，证明了滤波器通带条件,讨论了相关的设计和实施问题，并进行了实验仿真。
关键词： 方向滤波器组 虚自由支撑 滤波器设计
在人类视觉系统的研究中，已证明在人类视觉感知过程中方向信息起到重要作用。因此，图像的方向表示将是提取和理解视觉信息的第一步。景物图像包含许多集合特征，如边缘和纹理，而基于方向基能很好地表示这些特征。另一方面，在图像分解中以分层方式用多分辨离散变换表示图像数据，每层均能达到较好的效果，为由粗分辨率到细分辨率有效算法的构造提供了有利条件。因此，多尺度和多方向性是图像处理的重要特性。
在过去的20年里，小波" title="小波">小波和滤波器组已经有效地运用到许多信号处理中。滤波器组及其应用的论题在信号处理领域[１-２]已进行了广泛研究。小波应用到图像处理需要设计二维小波基，这种二维滤波器在逼近点奇异时（点在一个图像中）还有效，但在逼近线奇异时（线在图像中）就无能为力了。这是因为小波张量积基函数的同向性不适合处理边界(或边缘)。这个事实在许多研究中已得到证实，因此，寻找基于景物图像较有效的基是当前最具吸应力的研究领域。近几年，Candes和Donoho构建了曲波变换，被证明它是两变量函数的一种本质上的最佳表示，除了在非连续C2（二阶可微）曲线，该变换是平滑的。改进的关键是曲波的基函数遵循类似抛物线的尺度规则，使得它能很好地适应平滑的边缘。由于平滑函数的空间具有C2曲线奇异，类似于景物图像具有连续亮度值和不连续平滑曲线（边缘），这样一来，在离散域中寻找同样的变换变得更为迫切。Contourlet变换是在2002年由M.N.Do和Martin Vetterli提出的。二维小波变换仅对零维或不连续的点有稀疏的表示，而对于轮廓线，它却无能为力。Contourlet变换就是为了克服小波变换的这种不足而提出的，其滤波器结构是拉普拉斯金字塔和方向滤波器组的联合，不仅具有小波的多分辨率特性和时频局域特性，还具有很强的方向性和各向异性，因此，它对轮廓等纹理线的表示很稀疏。因为图像是由很多短的轮廓线组合而成，Contourlet变换对图像进行变换后得到的系数也要比小波稀疏。因此，Contourlet变换能很好地应用于图像的压缩、去噪和特征提取。但该变换尽管从方向成分中分离了低频成分，而分离过程是在低频段完成的不具有最大抽样特性。针对这一问题，本文介绍一种具有最大抽样特性的新型方向滤波器组即均匀方向滤波器组和非均匀方向滤波器组。具体介绍了最大抽样特性所要满足的滤波器组的虚自由支撑（可容许性）和两种新型滤波器组及其设计方案，并进行了实验仿真。
1 滤波器组的虚自由支撑(可容许性)
对于一个完全重构(PR)滤波器组，要实现最大抽样其抽样矩阵的虚自由支撑特性（AFS）是必须具备的。如果一个二维信号x(n)以采样矩阵M向下采样，则向下采样信号y(n)=x(Mn)的离散傅立叶变换[2]是：
式中，N(MT)是由矩阵MT产生的属于对称平行六面体(SPD)的所有整数格子点的集合。
如果滤波器是理想的，又可以证明该滤波器满足AFS特性，则滤波器是PR滤波器组。一个关于滤波器通带条件即当抽样系数Ｍ抽样时没有混淆现象的定理是：
定理：在[-π，π)2支撑S的区域称为关于矩阵M的AFS，当且仅当满足下列条件：每个点x∈SPD(πM-T)，存在惟一点y∈S、m∈Z2，则X-Y=2πM-Tm。
证明：该定理是滤波器虚自由抽样理论[2]的推广，支撑是SPD(πM-T)的复制转移。当式（1）的主成分和混淆图像间没有重叠时，一个理想滤波器支撑在区域S关于抽样矩阵Ｍ，满足其AFS特性。
假设式（１）的主项和混淆项间有一个重叠区域，定义区域S0={MTω|ω∈S}和S1={MTω+2πk|ω∈S，k≠0}是重叠的，则存在ω0，ω1∈S有：
MTω0=MTω1+2πk (2)
因为
由定理，存在惟一的
分别与ω0和ω1对应，则有
由SPD(πMT)映射到S的惟一性，
由式（2）可得：
简而言之：
由SPD(πM-T)定义和式(4)，则有(k+m1-m0)∈(-1，1)2。但所有的k、m1、m0都属于整数格子，因此(k+m1-m0)＝０，它使得
导致矛盾。如果理论条件不满足，同理可证明AFS条件将不满足。
根据上述理论，对于一个任意形状的关于矩阵Ｍ的滤波器的一个简单虚自由抽样测试如下：如果能找到一个支撑形状滤波器的分区即存在mk∈Z2，以便此时分区的kth元素被2πM-Tmk所搬移，则分区搬移集合就拟合在SPD(πM-T)。这里标注mk可以不同于分区的每个元素。
2 均匀方向滤波器组
传统的DFB和新的DFB对频域的分割分别如图1(a)、(b)、(c)所示。新的频率分割方法来自于景物图像的几何特征。图像通常有边缘平滑区域和纹理平滑区域，纹理平滑区域在一幅图像中方向高通子带能提取方向信息，而低通" title="低通">低通子带提供一个粗糙的逼近。
为了实现图1(b)中八通道滤波器组的频率分割，本文采用了一个均衡八通道滤波器组，如图2(a)所示。该滤波器组称为均匀方向滤波器组,该框架有许多优点：(1)滤波器设计具有高度的规律性。(2)整个八通道滤波器能直接实施比二进制树更为紧凑的结构。(3)方向子带中滤波器组无直流泄漏。
图3展示了一个测试示例，说明在新的DFB中方向子带1满足AFS条件。可以看出，一个两通道组满足容许特性。由前述定理说明新的DFB是具有最大抽样特性的。
3 利用非均匀DFB进行多分辨率方向分解
利用滤波器组进行多分辨率图像分解，是按低通系数重复同样的滤波器组。对于一维倍频带多分辨率，低通滤波器的通带支持(带宽)是整个频率空间的1/2。因此，二维倍频带多分辨率，低通滤波器的通带支持(带宽)是整个频率空间的1/4。均匀DFB有两个低频子带（0和4），联合起来可获得1/4的采样因子。一个最好的方法是使用一个非均匀滤波器组，该滤波器具有1/4采样因子和采样矩阵D2的一个低通成分，如图2(b)所示。其他的六个方向子带采用相同的方法。非均匀DFB的频率划分如图1（c）所示，其优点有：类似于DWT有同样的低通频率支撑(-π/2，π/2)2，图像分解代之以更加精细的水平、垂直和对角子带。非均匀DFB使用了六个方向子带，在分解中提供了更多的灵活性：
(1)要获得一幅图像的一个(方向的)多分辨率，可以将整个滤波器组在低通通道上重复。
(2)要成倍提高方向解析度，可以在高通通道的每个输出端叠加一个具有扇形通带的两通道滤波器组。
4 空域优化滤波器设计
设计非分离多分辨率滤波器组是一个具有挑战性的问题，通常的方法是变量转换[3-4]。基于一维PR滤波器组的二维滤波器设计方法" title="设计方法">设计方法应用到两个以上通道较为困难。目前，还没有系统的方法设计具有规则性和某种频率特性(阻带衰减，通带波纹等)的二维PR滤波器组。
本文中所用的优化设计方法在设计滤波器时不使用树结构。与其他滤波器优化设计方法不同，重构错误的计算即分析和合成滤波器系数的双线性函数是在时域进行的，设计过程是计算过后设法减少在每步中的重构错误。该方法只通过解迭代的线性方程组设计一个PR正交或双正交的滤波器组，就可以实现均匀DFB和非均匀DFB两种情况的滤波器组的设计，并且设计很灵活。设s={1，2，3，5，6，7}是非均匀DFB情况下的方向子带索引的集合，子带数量M=8，则该设计能够表示为一个优化问题，其目标函数为：
或：
式(5)和式(6)分别是均匀DFB和非均匀DFB的目标函数。目标函数主要由两部分组成，构成了PR或双正交特性。其中，第一项
符合归一化条件，只有当两个滤波器
另外，当分析和合成滤波器时有等同的规则性度量，具有下列线性约束[1]：
式中，r1、r2是非负整数，r1+r2
迭代期间，每个滤波器组是相应分析滤波器的时间反转，即fj(n)=hj(-n)，由此可获得滤波器组的正交性。为了使滤波器收敛到一个正交解，需要更新滤波器系数，即：
5 仿真实验
本次实验是比较小波和非均匀滤波器组的逼近性能，将512×512大小的芭芭拉图像分解为三层，低层用DWT，两个高层用非均匀DFB对Barbara图像进行分解(该图像同时也被“9-7”小波分解)，然后用同样数量的最高幅度系数重构，如图4所示。重构图像使用了6 144个系数(整个图像系数的2.3%)，结果非均匀滤波器组信噪比略高于小波，而且可以看出，前者视觉质量要好于后者。
本文介绍了新型DFB即均匀DFB和非均匀DFB，讨论了相关的设计和实施问题。这两种DFB可以用于二维信号的多方向多分辨率表示。根据树形结构的频率特性和规则性约束设计要求，得到了DFB的直接设计方法,在较高的计算代价要求下，该方法允许在高通带设计性能较高的方向滤波器。该设计方法首次给出了多分辨率多方向二维PR滤波器保持最大分样的特性，并且用简单的两通道滤波器组，方向解析度就能够得到增加，简单的设计就服从近似正交DFB，其设计结果经图像非线性逼近。实验表明，该方向滤波器组具有一定的应用潜力。
参考文献
[1] VETTERLI M，KOVACEVIC J.Wavelets and subband coding.Prentice Hall，Englewood Cliffs，NJ，1995.
[2] VAIDYANATHAN P P.Multirate systems and filter banks.Prentice-Hall，Englewood Cliffs，NJ，1993.
[3] LIM J S.Two-dimensional signal and image processing.Prentice Hall，Englewood Cliffs，NJ，1990.
[4] TAY D B H，KINGSBURY N G.Flexible design of multidimensional perfect reconstruction fir 2-band filters using transformations of variables. IEEE Transaction on Image Processing，2(4)：466-480，Oct 1993.