图1　发射频率变化规律

　　在0-T1时段内系统发射单频脉冲，完成多卜勒频移测量.在T1-T时段内，系统发射高线性度FMCW信号，接收机根据0-T1时段的频移测量，在回波信号中扣除频移影响，完成时延的高精度测量，实现目标几何中心定位，而后利用回波谱宽估算细柱状目标长度，并求出目标速度矢量.
　　文中假定测量周期T在ms量级，在这段时间内近似认为目标速度是不变的.同时考虑系统的实时性要求，本文将不讨论目标细节的识别，而是根据近程环境特点仅仅估计细柱状目标长度.文中所采用的算法也都是能一次完成计算的解析算法.

二、几何中心定位算法
　　多站系统的几何布局如图2所示.在T1-T时段内，t时刻的发射频率为

νT=ν0+kt　(1)

t时刻经目标几何中心到达Si的信号频率为

　(2)

式中RT,Ri分别为目标几何中心与ST及Si的距离，k为FMCW线性调频的速率.t时刻直达Si的信号频率为

　(3)

RTSi为发射机直达Si的距离.假设已根据0-T1时段测出的目标多卜勒频移，并在式(2)、(3)中扣除了该频移的影响.这时，Si对νTSi与νTOSi进行相关处理，求得频差νdi

　(4)

图2　多站雷达系统布局

图3　多站系统的收发频率关系

假设目标坐标为(x,y,z)，发射机布在S3处.并设di为LTi与LT3之差，即

di=LTi-LT3=Ri-R3,i=1,2,3　(7)

　　根据距离关系，将站坐标Si(xi,yi,zi)和目标坐标代入式(7)展开整理并求解可得

rh=［x　y］T=W-1(β-d)
ra=［x　y　z］T=［f1(η)　f2(η)　f3(η)］T　(8)

式中　a=1+dTWTW-1d；
b=2rTh3W-1d-2dTW-TW-1β-2z3;
c=βTW-TW-1β-2rTh3W-1β-β3,

x3j=x3-xj,y3j=y3-yj,z3j=z3-zj,j=1,2
β3j=0.5(d2j+2djR3-ρ2j+ρ23),j=1,2
这里ρi与Si与原点的距离.
η=［d1　d2　R3］T=［η1　η2　η3］T.只要三个雷达站没有布局在同一直线上，W就是非奇异的，式(8)有确定的解.式中正负号的选取可参考文献［3］，但通过合理选择坐标系可以将目标置于上半球或下半球，从而使符号选取简化.

三、定位性能分析
　　1.定位坐标偏移量
　　当TR-R系统对目标定位时，直接测得量的d1,d2,R3，设测量误差矢量为

δη=［δd1　δd2　δR3］T=［δη1　δη2　δη3］T　(9)

目标定位误差矢量为

δra=ra-r0=［δx　δy　δz］T　(10)

其中r0为目标的真实位置矢量，由式(7)得

δηi=δLTi-δLT3=δLTi-2δR3　(11)

上式表明，δηi之间不独立.
　　设各雷达站对频率的测量相互独立，频率测量误差符合零均值正态分布" title="正态分布">正态分布.则各雷达站对距离的测量相互独立，且测量误差δLTi及δR3都符合零均值正态分布.而δηi与δLTi及δR3是线性关系，因而δηi也符号零均值正态分布，这时有

E［δηi］=E［δLTi］-2E［δR3］=0　(12)

但是，由于目标几何中心定位坐标与ηi的函数关系是非线性的，因此δηi将使定位坐标产生偏移.即使E［δra］≠0，偏移量的期望值可通过式(8)估算.
　　为求δra的数学期望，将ra=f(η)在r0附近展为η的Taylor级数，保留到二阶偏微分项，并考虑到δηi的相关性，可得定位坐标偏移量期望值的表达式

　(13)

式中σ2为单站雷达测距方差，b1，b2，b3分别表示坐标偏移量bx,by,bz.
　　2.目标定位误差的GDOP因子
　　一阶近似情况下，δra的协方差矩阵P为
p=E{(δra-E［δra］［δra-E［δra］］T)}=FSFT-bbbTb　(14)
其中　　bb=［bx　by　bz］T，

P的对角线元素为定位坐标方差σ2x,σ2y,σ2z.目标定位误差的GDOP因子为

　(15)

四、目标速度测量" title="速度测量">速度测量
　　在0-Ti时段系统发射单频脉冲，已经测得运动目标回波的多卜勒频移，由此可求得目标速度在相应方向的投影，将这些投影看做空间矢量，就可估计目标速度.
　　在TR-R2多站雷达系统中，S3构成单站雷达的同时还分别与S1，S2构成双基地系统.根据单站与双基地系统多卜勒关系得到方程

　(16)

vi为目标速度在Si——目标视线上的投影，νdi为Si中测得的目标多卜勒频移，i=vi+v3.由式(16)解得vi,并以矢量

v=［q1　q2　q3］T　(17)

表示目标速度，利用Si——目标视线的方向余弦(cosαi,cosβi,cosγi)，将vi表示为

vi=q1cosαi+q2cosβi+q3cosγi,i=1,2,3　(18)

整理后写成矩阵形式解得

V=Φ-1μ　(19)

式中

Φ为已知，因此可求得速度v，速度的数值由下式计算

　(20)

五、速度测量性能分析
　　当各雷达站的频率测量相互独立，测量误差符合具有相同方差的零均值正态分布时，由于1与νdi是线性关系，则i也是正态分布的

　(21)

式中σ2v为1的方差，0i为i的均值，式(16)表明vi与i是线性关系，故目标在各雷达站方向的速度投影vi也符合正态分布.同样式(19)表明qi与vi也是线性关系，因此qi也符合正态分布，其概率密度公式为

　(22)

其中，，为qi的均值，σ2qi=［k21i+k22i+1/4(k1i+k2i-k3i)2］σ2v为qi的方差,而kij=Δ′ij/Δ′,Δ′=det(Φ)，Δ′ij为Δ的代数余子式.
　　根据式(22)写出q1，q2，q3的联合概率密度函数

　(23)

式中B为qi的协方差矩阵，其元素为

B(i,j)=E［(qi-q0i)(qj-q0j)］,μt=［q01　q02　q03］T

为求v的概率密度函数，对式(23)作如下的变量代换,令

q1=ξcosθcosφ,q2=ξcosθsinφ,q3=ξsinθ.

变换后的变量取值范围相应变为

此变换的Jacobian行列式为J=ξ2cosθ,这样ξ即v的概率密度函数可以写成

　(24)

目标速度期望值及其方差分别为

　(25)
　(26)

六、定位误差对速度测量的影响
　　目标速度估算是在定位之后完成的.由于速度估算公式中要用到Si——目标视线的方向余弦，这些方向余弦的精度取决于目标几何中心定位误差.因此，定位精度将直接影响速度测量精度.为便于分析，下面在考虑定位误差影响时，不考虑其它因素.
　　令δv为因定位误差所产生的速度误差，将速度v展为定位坐标的Taylor级数，在一阶近似条件下求得其偏移量计算式为

　(27)

速度估计方差为

　(28)

其中ε2i=2σ2

七、细柱状目标长度估计
　　雷达发射FMCW波形时，体目标回波频谱将占据一定的带宽，对回波信号作频谱分析则可以提取到此频宽信息.
　　设细柱状目标的长度为m,接收机Si的接收信号谱宽为Δνi，目标在Si方向的投影为mi，则有如下关系成立

　(29)

这里，目标投影及频谱宽度均应有正负号，符号的选取由目标相对各雷达站的位置关系及目标的空间取向确定.位置关系取决于几何中心坐标，而空间取向可由目标回波的频谱特性或速度的方向判别.将投影mi以矢量mi表示，其方向由相应雷达站Si——目标视线的方向余弦确定，即

mi=mi［cosαi　cosβi　cosγi］T　(30)

再将细柱状目标以空间矢量M表示，其在三个坐标轴上的投影分量分别为X1，X2，X3，利用矢量关系求得

M=Φ-1δ　(31)

式中δ=［m1　m2　m3］T.目标长度的估计式为

　(32)

八、目标长度估计性能分析
　　因各雷达站对频率的测量相互独立，且频率测量误差符合具有相同方差的零均值正态分布，则Δνi是正态分布的.而i与Δνi是线性关系，因此i正态分布.其概率密度函数为

　(33)

式中0i为i的均值.式(29)表明mi与i是线性关系，故mi也符合正态分布.同样式(31)表明Xi与mi也是线性关系，故Xi也符合正态分布.即

　(34)

式中，为Xi的均值，σ2Xi=σ2［k21i+k22i+1/4(kli+k2i-k3i)2］为Xi的方差.根据式(34)可写出X1,X2，X3的联合概率密度函数

　(35)

式中H为Xi的协方差矩阵，其元素为

h(i,j)=E［(Xi-X0i)(Xj-X0j)］;
εt=［X01　X02　X03］T

九、计算机仿真结果
　　选择一种代表性的情况模拟各种参数对系统性能的影响.将三个站分别布在XOY平面内半径为L(称为布站半径)的圆周上，坐标分别为(-L/2,-L/2,0),(L/2,-L/2,0),(0,L,0).在假定目标始终指向坐标原点的情况下模拟目标数据，分析探测性能.假定目标真实长度为3m，速度500m/s，单站测距均方根误差0.5m，测速均方根误差20m.
　　1.目标几何中心定位
　　(1)定位坐标偏移量　图4给出几种不同情况下目标定位坐标偏移量分布，由图看出，当目标高度在200m以下时，坐标估计偏移量较大.目标在200m以上时坐标偏移量已很小，一般可以忽略.同时系统布站半径L越大坐标偏移量越小.

图4　不同情况下定位坐标估计偏移量分布

　　(2)定位误差的GDOP因子　图5图6分别给出了定位误差的GDOP因子与目标高度及系统布站半径的关系.显然，目标越高定位误差的GDOP因子越小.而增大统布站半径时，GDOP因子越小.而增大统布站半径时，GDOP因子先是减小，然后又增大，这种变化不是单调的.当考虑中心附近2km见方的近程区域时，L=2km的情况为最好.

图5　高度不同时的GDOP曲线(L=2km)

图6　不同布站半径时的GDOP曲线(z=500m)

　　2.目标速度测量
　　(1)目标速度估计期望值　分析图7图8给出的目标速度期望值与高度及布站半径的关系可以看出，由于式(23)的非线性关系，估计目标速度时也会产生偏移量，此偏移量的大小随目标高度的增加而减小.同时当系统布站半径增大时，偏移量先是减小随后又增大.在L=2km时，效果最好.
　　(2)目标速度估计均方根误差　速度估计均方根误差分析结果如图9图10，可以看出，目标越高速度均方根误差越小，而L增大时中心区域的速度均方根误差也增加.

图7　速度期望值与高度的关系(L=2km)

图8　速度期望值与布站半径的关系(z=500m)

图9　速度均方根误差与高度的关系(L=2km)

图10　速度均方误差与布站半径的关系(z=500m)

　　(3)定位误差对速度测量的影响　分析表明，高精度定位情况下定位误差对速度测量的影响很小.目标定位误差引起的速度估计偏移量及均方根误差远小于因单站雷达多卜勒测速误差产生的测速偏移量及均方根误差，一般可以忽略.但是，当定位误差增大时，其对速度测量的影响会迅速增大，这时定位误差的影响就不能忽略了.
　　3.细柱状目标长度
　　细柱状目标长度估计的分析结果如图11，12所示，可以看出，z越大偏移量越小，L增大时偏移量先是减小接着又增大，变化关系不是单调的，L=2km时性能最好.目标长度均方根误差与高度及布站半径的关系也有相同的变化规律.

图11　目标长度期望值分布(z=500m)

图12　目标长度期望值分布(L=2km)

　　另外，按第六节的方法分析定位误差对目标长度估计的影响，结果表明高精度定位情况下，定位误差对目标长度估计的影响也可以忽略不计.如果不是高精度定位，只需要考虑定位误差的影响.

十、结　　论
　　本文将FMCW波形和单频脉冲波形引入多站雷达系统，在考虑时延和频移解耦，选择合适发射波形的基础上，就近程应用情况下TR-R2系统对目标几何中心定位，目标速度测量及细柱状目标长度估计等问题进行了全面的分析与仿真.得出了一些对工程实践有一定指导意义的结论.特别是文中所讨论的解耦方法具有普遍适用的意义.
　　对系统性能所进行的分析表明，系统性能既与目标位置有关，又与系统布局的几何参数有关.
　　由于存在非线性关系，多站系统在对目标进行定位，测量目标速度及估计目标长度时都会产生偏移量.当目标高度较低时偏移量较大，目标较高时偏移量较小.另外，目标定位误差的GDOP因子，速度以及目标长度估计均方根误差也都随高度的增加而减小.
　　系统布局对性能的影响主要表现为系统布站半径的影响.布站半径越大，定位坐标偏移量越小，目标速度及长度偏移量随布站半径的变化不是单调的，GDOP因子的变化也不是单调的，在本文分析的情况下，L=2km时系统性能最好.
　　高精度定位情况下，定位误差对目标长度及速度测量的影响很小，可以忽略不计.