0 引言

    核磁共振图像(Magnetic Resonance Image，MRI)具有无辐射、高分辨率、多平面成像等优点，广泛应用于临床诊断。然而，缓慢的扫描速度会导致运动伪影的产生，致使图像变得模糊和失真，因此研究如何在保证高质量图像的情况下提高成像速度具有重要的理论和实际应用价值。压缩感知(Compressive Sensing，CS)理论是DONOHO D L、CAND?魬S E J和TAO T等^[1-3]在2006年提出的一种全新的信号采样和处理理论。CS理论提供了一个利用少量测量数据实现稀疏信号重建的框架，极大地减少傅里叶变换域的采样数据，缩短扫描时间，提高成像速度。

    在MRI领域，CS理论得到极大的认可。LUSTIG M等^[4]利用MRI在小波域的稀疏性和空间域的变分约束，将CS理论成功应用于心脏成像、脑成像、快速三维血管造影等，并取得良好的重建效果。在Lusting等人的研究基础上，DABOV K等^[5]在对局部相似性研究的基础上，提出一种新的块匹配重建算法。AK?覶AKAYA M等^[6]利用块匹配的重建算法对中心采样的心脏图像进行重建，实现了在4倍采样的MRI的精确重建。RAVISHANKAR S等^[7]利用K-SVD思想，提出一种基于自适应字典学习的MRI重建算法，重建效果得到进一步提高。RAJWADE A和LINGALA S G等^[8，9]提出的具有盲字典学习的高光谱成像和动态MRI算法自适应学习字典,获得了良好的重构性能。

    字典学习^[10]可以有效表征图像的特征信息，全变分(Total Variation，TV)正则项^[11]可以保持图像边缘信息。然而，在字典学习过程中稀疏编码会产生混乱信息熵，影响字典学习效率，TV单向梯度处理平滑区域会产生阶梯效应。针对以上问题，本文引入熵约束和加权的TV正则项，充分利用图像的先验信息，构建图像重构模型。

1 压缩感知基本理论

    基于稀疏表示理论，CS理论将信号采样和压缩合并进行，通过非自适应线性投影有效获取信号的特征信息，并利用求解最优化问题高概率精确重构原信号，缓解了数据的采集、存储、传输和分析的压力。一般地，对于原始信号为x∈C^N，给定测量值y=Φx∈C^M，其中Φ∈C^M×N(M<N)是非满秩测量矩阵，存在无穷多个可行解x，若Φ满足约束等距条件，则可确保重构解唯一。信号重构过程转换为最小化L₀范数模型，即：

其中||·||₀是零范数，表示x中非零元素的个数。求解式(1)不仅是一个NP难问题，而且极易受到噪声的影响。针对此问题，研究者采用凸的L₁范数代替非凸的L₀范数，即：

    选择一个合适的拉格朗日乘子λ，式(2)可转化为无约束优化问题：

    采用Bregman算法、对偶算法以及交替迭代乘子法等算法均可有效求解式(3)。最近研究表明，图像信息中包含了大量的自相关结构，具有高度结构化稀疏性以及低秩特性，利用这种非局部相似特性构建的低秩结构化稀疏模型^[12]显示出更为优异的图像重构效果。

2 图像重构模型的提出

    由于字典学习过程中稀疏系数索引会产生较高的信息熵，影响原子学习效率。而单一的TV正则项又会对图像边缘纹理过平滑，产生阶梯效应。为此，基于熵约束和加权TV正则项提出一种新的图像重构模型，如下所示：

其中E(T，u)是字典学习正则项，G(u)是加权TV正则项，y=Φu是数据约束项。

2.1 基于熵约束的字典学习正则项

    稀疏表示是影响图像重构质量的关键因素，为克服传统变换不能有效表示轮廓、纹理、振荡等高维几何特征的缺点，稀疏表示的研究从正交基扩展到过完备字典。式(4)中的第一项E(T，u)是字典学习约束项，字典学习方法一般可通过优化下式获取：

    在稀疏编码过程中会得到非零系数和相对应的位置索引，这些索引值有很大的随机性，导致其信息熵非常高，降低了字典学习效率。为此，引入熵的约束，以提高字典学习效率。对保真项、稀疏度以及原子选择的熵作联合优化，构造新的优化函数：

2.2 加权各向同性与异性的TV正则项

    TV模型广泛应用于图像去噪、修复、超分辨率等,其各向同性、各向异性的数学表达如下：

其中D_x、D_y分别表示水平和垂直方向上的导数。

    对于分段常数函数或光滑区域，其每个像素点的梯度是1-稀疏，通过L₁范数可以很好地重构，然而，对于边缘信息丰富的区域，梯度并非1-稀疏，其效果并不理想，它会产生阶梯效应。针对这种非稀疏的梯度向量，结合各向同性与各向异性，用加权的TV正则项代替单一的TV项，即：

其中γ∈[0，1]。其优点在于具有Lipschitz正则性，并且在求解时用现有的算法可充分确保其收敛性。

2.3 基于字典学习和加权TV的重构模型

    结合上述字典学习和TV模型，构建如下重构模型：

    式(9)第一项保证图像块可以用过完备字典稀疏表示，R_j∈R^n×N表示提取图像u的第j块的二值矩阵，那么所有图像块的组合能覆盖整个图像，可能有重叠部分，这里的图像块大小和过完备字典中的原子大小必须是一致的，才能保证每个图像块都能被字典中的原子线性表示。第二项是字典原子熵约束项，提高字典学习效率。第三项是基于加权的TV正则项，有效保留图像边缘信息，可抑制阶梯效应。前三项起到去除采样过疏导致伪影和保留图像局部结构的作用。第四项是数据保真项，用于增强k空间的数据保真度，其中是感知矩阵，P是采样矩阵，是傅里叶变换。

3 模型求解

    本文采用交替最小化方法求解式(9)。首先固定u，获得学习字典和稀疏系数。然后，固定字典和系数,依据测量数据更新重构图像u。

    (1)字典学习阶段对应的子问题目标函数为：

    采用K-SVD方法求解，其相应的OMP算法需要修改，在每次迭代计算残差时应加入选择原子熵，即：

    (2)更新重构阶段对应的子问题目标函数为：

    上述能量泛函是凸的，通过交替迭代转化为求解关于u、d的两个子问题。

    对u问题，利用变分法直接求导，引入周期性边界条件,并使用快速傅里叶变换(FFT)进行求解，可得：

4 仿真实验与结果分析

    实验环境为MATLAB 2011a版本，为了能够有效对比重构图像的不同特征，选取光滑和纹理区域差异较大的两张脑部图像，尺寸为256×256，并采用两种不同的采样方式，如图1所示。实验中待重构数据是模拟对原始图像的二维离散傅里叶变换，采样得到。本文与字典模型、TV模型作对比，以信噪比(SNR)、峰值信噪比(PSNR)、结构相似度(SSIM)作为指标衡量重构效果。图像块大小为８×８，字典原子维数M=64，个数K=256，以离散余弦变换字典为初始字典，平衡参数α=1，β=1，稀疏度T₀=10，λ=140，分别取γ=0.5、1，迭代10次。

    利用零填充、TV、字典学习3种不同算法，分别对两幅不同特征的MRI图像在16%和25%采样率下进行了多组实验，实验结果如图2、图3所示。不同图像重构下SNR、PSNR、SSIM指标对比见表1、表2。从实验结果看，TV算法会对图像边缘信息过平滑，丢失纹理细节信息。同时，为了对比本文算法在不同采样矩阵下的恢复效果。综合数据看，L₁-L₂恢复效果优于L₁-0.5L₂的效果，本文算法重构的图像比TV或字典模型PSNR平均高出1～2 dB，在平滑区和边缘纹理区处理结果都优于单纯的TV和字典算法。

5 结论

    本文基于图像块稀疏性提出一个自适应的字典学习框架，该框架直接由采样的空间数据获得，对图像样本具有自适应性，又结合加权TV正则项，充分地利用各自的优点，有效消除噪声，保留图像边缘纹理，增强局部结构。实验结果表明，本文对噪声具有鲁棒性，在无噪声和有噪声的情况下均具有良好的性能。在高度欠采样下，图像的各种特征有很好的重构效果，算法经过少量的迭代就可以收敛，对参数的选取同样具有鲁棒性。下一步将从参考图像出发，选择合适初始字典,考虑低秩流形结构和块稀疏字典两者相结合，使MRI重构图像具有更丰富的结构信息。

参考文献

[1] DONOHO D L.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(4)：1289-1306.

[2] CANDES E J.Compressive sampling[J].Marta Sanz Solé，

     2006，17(2)：1433-1452.

[3] CANDES E J，ROMBERG J，TAO T.Robust uncertainty principles: exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(2)：489-509.

[4] LUSTIG M，DONOHO D，PAULY J M.Sparse MRI：The application of compressed sensing for rapid MR imaging[J].Magnetic Resonance in Medicine，2007，58(6)：1182-95.

[5] DABOV K，FOI A，KATKOVNIK V，et al.Image denoising by sparse 3-D transform-domain collaborative filtering[J].IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society，2007，16(8)：2080-2095.

[6] AKCAKAYA M，BASHA T A，GODDU B，et al.Low-dimensional-structure self-learning and thresholding：Regularization beyond compressed sensing for MRI Reconstruction[J].Magnetic Resonance in Medicine Official Journal of the Society of Magnetic Resonance in Medicine，2011，66(3)：756-767.

[7] RAVISHANKAR S，BRESLER Y.MR image reconstruction from highly undersampled k-space data by dictionary learning[J].IEEE Transactions on Medical Imaging，2011，30(5)：1028-41.

[8] RAJWADE A，KITTLE D，TSAI T H，et al.Coded hyper-spectral imaging and blind compressive sensing[J].Siam Journal on Imaging Sciences，2013，6(2)：782-812.

[9] LINGALA S G，JACOB M.A blind compressive sensing frame work for accelerated dynamic MRI[J].Proceedings，2012，88(1)：1060-1063.

[10] KONDO S.Compressed sensing and redundant dictionaries[J].Information Theory IEEE Transactions on，2008，54(5)：2210-2219.

[11] RUDIN L I，OSHER S，FATEMI E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J].Physica D-nonlinear Phenomena，1992，60(1-4)：259-268.

[12] DONG W，SHI G，LI X，et al.Compressive sensing via nonlocal low-rank regularization[J].IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society，2014，23(8)：3618-3632.

作者信息:

宋长明，惠庆磊，程东旭

(中原工学院 理学院，河南 郑州450007)