0 引言

    傅里叶分析技术^[1]在分析时变非线性信号时存在无法表述信号的时频局部特性的局限性^[2]。为了分析处理非平稳信号，人们相继提出了一系列新的信号分析方法：短时傅里叶变换^[3]、双线性时频分布^[4]、Gabor变换^[5]、小波分析^[6]、分数阶傅里叶变换^[7]等。这些算法从不同程度上对非平稳信号的时变性给予了恰当的描述，改进了傅里叶分析的性能^[8]。然而，方法仍是全局范畴，原因在于其信号分析性能取决于基函数的选取，存在局限性。

    1998年Huang等人提出了一种全新的信号时频分析方法——希尔伯特·黄变换(Hilbert-Huang Transform，HHT)^[9]。该方法首先采用经验模态分解(Empirical Mode Decom-position，EMD)算法将非平稳信号逐级分解为若干个固有模态函数(Intrinsic Mode Function，IMF)和一个残余量，然后再对各个IMF分量进行希尔伯特变换(Hilbert Transform，HT)得到能够准确反映信号能量在空间(或时间)各尺度上的分布规律^[9]的Hilbert谱^[10]。EMD具有数据驱动的自适应性，能分析非线性非平稳信号，不受Heisenberg测不准原理^[11]制约等优点。

    然而，Huang提出的基于筛分(Sifting)算法的EMD得到的IMF分量^[12]存在模态混叠(Mode Mixing，MM)^[9]。模态混叠的出现不仅会导致错假的时频分布，也使IMF失去物理意义。围绕模态混叠的消除或抑制，国内外开展了一系列的研究，并获得不同程度的效果。本文分别针对一维和多维EMD抑制模态混叠，总结归纳了相关研究取得的主要成果，指出了各方法抑制效果的改进及仍有的不足。最后讨论了相关研究及应用未来的发展趋势。

1 经验模态分解及模态混叠

    EMD自适应的逐级分解^[13]过程中，IMF必须满足以下两个条件：(1)信号极值点和零点数相同或相差一个；(2)由信号局部极大、小值点拟合的上、下包络线的局部均值为零，也即上下包络线关于时间轴局部对称^[14]。设待分解信号为X(t)，EMD算法的计算步骤如下^[9]：

    式(1)说明EMD分解具有完备性^[9]，信号X(t)经分解后还能通过所有IMF及剩余分量被精确重构出来。

    EMD在非线性非平稳信号分析中具有显著优势。与传统时频分析技术相比，EMD无需选择基函数，其分解基于信号本身极值点的分布。而算法本身缺少完整的理论基础，在实际计算与应用中还存在着许多不足，包括模态混叠^[15]、端点效应^[16]、筛分迭代停止标准^[12]等。一般情况下，每个固有模态函数只包含一种频率成分，不存在模态混叠的现象。但是，当信号中存在由异常事件(如间断信号、脉冲干扰和噪声等)引起的间歇(Intermittency)现象时，EMD的分解结果就会出现模态混叠^[9]。

2 集合经验模态分解

    为克服EMD的模态混叠，2009年Wu和Huang提出一种噪声辅助信号分析方法——集合经验模态分解(Ensemble EMD，EEMD)^[17]。该算法利用EMD滤波器组^[18]行为及白噪声频谱均匀分布的统计特性^[19]，使Sifting过程信号极值点分布更趋匀称，有效抑制由间歇性高频分量等因素造成的模态混叠。设待分解信号为X(t)，EEMD算法的计算步骤如下^[17]：

    然而，在EEMD中，每个加噪信号 hⁱ(t)独立地被分解，使得每个 hⁱ(t)分解后可能产生不同数量的IMF，导致集合平均时IMF分量对齐困难。此外，添加的白噪声幅值和迭代次数依靠人为经验设置，当数值设置不当时，无法克服模态混叠^[20]。虽然增加集合平均次数可降低重构误差，但这是以增加计算成本为代价，且有限次数的集合平均并不能完全消除白噪声，导致算法重构误差大，分解完备性差^[21]。

3 互补集合经验模态分解

    Yeh等于2010年提出了互补集合经验模态分解(Complementary EEMD，CEEMD)^[22]。该方法向原始信号中加入正负成对的辅助白噪声，在集合平均时相消，能有效提高分解效率，克服EEMD重构误差大、分解完备性差的问题。设待分解信号为X(t)，CEEMD算法的计算步骤如下^[22]：

4 自适应噪声的完整集合经验模态分解

    为解决集合平均时IMF分量对齐问题，TORRES M E等在2011年从分解过程和添加白噪声上对CEEMD进行改进，提出了自适应噪声的完整集合经验模态分解(Complete EEMD with Adaptive Noise，CEEMDAN)^[24]。设待分解信号为X(t)，定义操作算子Ek(·)来表示信号经过EMD分解后得到的第k阶固有模态分量，CEEMDAN算法可描述如下^[24]：

    Wu和Huang建议^[17]使用小振幅值来处理由高频信号支配的数据，反之则增大噪声幅值。在分解过程中添加的是白噪声经EMD分解得到的各阶IMF分量，最后重构信号中的噪声残余比EEMD的结果小，降低了筛选次数。另一方面，各组信号经CEEMDAN分解出第一阶固有模态分量后立即进行集合平均，避免了CEEMD中各组IMF分解结果差异造成最后集合平均难以对齐的问题，也避免了其中某一阶IMF分解效果不好时，将影响传递给下一阶，影响后续分解。尽管如此，CEEMDAN仍然有一些需要改进的方面^[23]，如 IMF仍包含残余噪声；在分解的早期阶段，信号会出现一些“虚假”模式，导致在前两阶或三阶模态中仍包含了大量的噪声和信号的相似尺度^[24，26]。

5 改进的自适应噪声集合经验模态分解

    针对CEEMDAN存在的残余噪声及“虚假”模式问题，TORRES M E等试图估计每次分解剩余分量r_k的“真实”平均包络，进一步提出了改进算法^[23]。定义M(·)为对信号进行局部包络平均运算，即取信号上下包络的平均值；nⁱ(t)表示方差为1的零均值白噪声。设待分解的信号为X(t)，改进的CEEMDAN算法描述如下[23]：

    (6)判断是否满足终止条件，若满足，则停止分解。

    与EEMD和CEEMDAN相比，改进的CEEMDAN引入局部包络平均减小残余噪声；在分解过程中，依次计算IMF，保证了分解的完整性，信号重构误差更小。但计算量过大，实时性有待进一步改进^[23，27]。

6 多维经验模态分解及其噪声辅助的模态混叠抑制

    将EMD直接用于分解多通道信号时存在各通道IMF分量在数量和频率尺度上难以对齐问题，使得重构后各通道信号难以保持信号原有的相位关系^[28]。Rehman等人在2010年提出了能够同时处理多通道信号的多维经验模态分解(Multivariate EMD，MEMD)^[28]。在此基础上，将白噪声作为信号其中一维或多维加入进行MEMD处理，提出了噪声辅助多维经验模态分解(Noise Assisted MEMD，NA-MEMD)^[29-30]。由于白噪声具有频谱均匀分布的统计特性，该算法能有效抑制经验模态分解存在的模态混叠。

6.1 多元经验模态分解

    MEMD 的提出解决了多通道信号的模式校准问题。但MEMD分解也会得到一些虚假分量，仍存在模态混叠问题^[33]，影响对后续的特征提取。

6.2 噪声辅助的多元经验模态分解

    NA-MEMD方法是EMD的多变量噪声扩展形式，算法不但充分利用了MEMD处理白噪声时具有的固定通带的频率特性，而且加入额外的独立白噪声确保分解后信号与噪声的IMF分量完全可分离。相较于基于EEMD分解的方法无需进行IMF的集合平均，提高了计算效率，减小了噪声干扰，性能更为优越^[33，34]。

7 结论

    EMD将信号进行平稳化处理的过程中存在模态混叠，影响该方法的性能及应用。本文围绕模态混叠抑制，总结归纳了一维及多维EMD研究方面的主要工作。EEMD虽然能有效抑制模态混叠，但在分解过程中添加的辅助白噪声最终需要增加集合平均次数来抵消，计算耗时长，重构误差大。CEEMD在抑制模态混叠的同时正负成对噪声相消，部分降低了残留噪声的影响，减轻了集合平均抑制添加白噪声的负担，提高了计算效率。CEEMDAN及其改进方法在每次分解时添加白噪声的IMF分量，添加噪声逐级减少，固有模态分量中残留噪声更少，有效减小了重构误差，且在分解的每个阶段都有一个全局停止标准，分解效率最高。MEMD对多维信号同时进行分解，确保了各通道IMF分量在数量和尺度上相匹配，重构的各通道信号间的相位无畸变。但由于其采用与EMD算法相一致的思想， MIMF也会存在模态混叠。NA-MEMD通过引入辅助噪声通道，消除了MEMD中存在的模态混叠，同时还保证了信号分解的完备性，分解性能最优，但由于多维空间极值点包络及局部均值的估计算法过于复杂，计算量最大。特别是对空间单位球面的采样显著增加了采样，导致计算量快速增加，分解效率最差。因而需要在计算精度和复杂度之间折衷考虑。

    针对模态混叠抑制，未来还可以从添加的辅助信号形态、发生模态混叠的IMF再处理及对信号滤波后再分解三个方面展开探索。此外，从理论上深入研究EMD处理过程中模态混叠发生的机理也有助于探索新的抑制方法，提高EMD算法的精度和效率，提升其应用水平和适应范围。

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作者信息:

戴  婷1，张榆锋1，章克信2，何冰冰1，朱泓萱1，张俊华1

（1.云南大学 信息学院电子工程系，云南 昆明650091；2.昆明医科大学第二附属医院，云南 昆明650031）